Le circuit RLC libre
I. Décharge d’un condensateur dans une bobine.
1) Expérience.
Considérons le circuit suivant :
✹K est en position 1 , le condensateur se Charge, à la fin de la charge on a:
$$
u_{c max }=E quad, quad q_{max }=C cdot E quad text { et } quad xi_{max }=frac{1}{2} cdot C cdot E^2
$$
✹À un instant $t=0$ on bascule $k$ en position 2 et on visualise la tension $u_c$ au borne du condensateur pour une $R$ résistance faible, on obtient la courbe ci-dessous.
✹$hat{A}$ un instant $t=0$ on bascule $k$ en position 2 et on visualise la tension $u_c$ au borne du condensateur pour une $R$ résistance faible, on obtient la courbe ci-dessous.
On obtient des oscillations dont l’amplitude diminue (un amortissement).
Donc le circuit RLC est le siège d’oscillation électrique libre et amortie.
2) Les régimes d’oscillation.
On enregistre la tension $u_c $ aux bornes du condensateur, pour différentes valeurs de la résistance $R_T=R+r$.
✹Si $mathrm{R}_T$ est faible, on obtient des oscillations amorties. Le régime est dit pseudopériodique, la durée $T$ est la pseudopériode.
✹Si $R$ est élevée, il n’y a plus d’oscillations. Le régime est dit apériodique.
La valeur de la résistance correspondant au passage du régime pseudopériodique au régime apériodique est appelée résistance critique $R_c$; sa valeur dépend de $L$ et de $C$. donc pour $R=R_c$ on obtient un régime critique.
La courbe de la tension du condensateur selon la valeur de la résistance du circuit :
Influence des paramètres du circuit
•L’influence de la résistance
• L’influence de la capacité ou de l’inductance
II. Décharge d’un condensateur dans une bobine idéale (LC).
1) Équation différentielle.
La loi d’additivité des tensions:
$u_c+u_b=0 Rightarrow u_c+L cdot frac{d i}{d t}=0$
$$
begin{array}{ll}
Rightarrow & u_c+L C cdot frac{d^2 u_c}{d t^2}=0 \
Rightarrow & quad frac{d^2 u_c}{d t^2}+frac{1}{L C} cdot u_c=0
end{array}
$$
2) Ia solution de l’équation différentielle.
La solution générale de l’équation différentielle précédente est de la forme :
$$
u_c(t)=A cdot cos left(omega_0 t+varphiright)
$$
avec:
$omega_0$ la pulsation propre du circuit, $omega_0=frac{2 pi}{T_0}$ (en : rad $/ mathrm{s}$ ).
$mathrm{T}_0$ : période propre des oscillations. (en : s)
A : amplitude, $c^{prime}$ est la tension maximum $A=u_{c max }=E$.
$varphi$ : c’est la phase initiale ( à $t=0$ ), c’est une constante qui dépend des conditions initiales. (en: rad) $(-pi<varphi leq pi)$
a) Détermination de la période propre :
$$
begin{aligned}
text { on } a: u_c(t)=A cdot cos left(omega_0 t+varphiright) & Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}=-left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot U_{C max } cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} t+varphiright) \
& Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}=-left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot u_c(t) Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}+left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot u_c(t)=0
end{aligned}
$$
par identification avec l’équation différentielle, on $a:left(frac{2 pi}{T_0}right)^2=frac{1}{L C} quad Rightarrow quad T_0=2 pi cdot sqrt{L C}$
b) Détermination de la phase:
$grave{A} t=0$ on $a u_c=U_{text {cmax }} Rightarrow cos (varphi)=1 Rightarrow varphi=0$.
Donc $quad: u_c(t)=E cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} tright)$
3) L’intensité du courant $i(t)$.
$$
begin{aligned}
& left.begin{array}{cc}
text { on a } & u_c(t)=E cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} tright) \
text { et } & i(t)=C frac{d u_c}{d t}
end{array}right} i(t)=-C E frac{2 pi}{T_0} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright) quad text { d’où } quad i(t)=-E sqrt{frac{C}{L}} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright) \
& -1 leq sin left(frac{2 pi}{T_0} cdot tright) leq 1 quad Rightarrow quad-E sqrt{frac{C}{L}} leq i(t) leq E sqrt{frac{c}{L}} quad Rightarrow quad mathrm{I}_{max }=mathrm{E} sqrt{frac{C}{L}} \
& text { Donc : } i(t)=-mathrm{I}_{mathrm{m}} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{aligned}
$$
$$
begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline t & 0 & T_0 / 4 & T_0 / 2 & 3 T_0 / 4 & mathrm{~T}_0 \
hline mathrm{u}_{mathrm{c}}(t) & mathbf{E} & 0 & -mathrm{E} & 0 & mathbf{E} \
hline i(t) & 0 & -mathrm{I}_{mathrm{m}} & 0 & mathrm{I}_{mathrm{m}} & mathbf{0} \
hline
end{array}
$$
4) Étude énergétique.
a) L’énergie électrique:
L’énergie emmagasinée par le condensateur à un instant t est : $quad xi_e(t)=frac{1}{2} C . u_c^2$
$$
begin{array}{r}
Rightarrow quad xi_e(t)=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) text { et on a } xi_{e-max }=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 \
text { donc } xi_e(t)=xi_{e-max } cdot cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{array}
$$
b) L’énergie magnétique
L’énergie emmagasinée par la bobine à un instant $t$ est : $quad xi_m(t)=frac{1}{2} L . i^2$
$$
begin{aligned}
& Rightarrow quad xi_m(t)=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2 sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) quad text { et on a } xi_{m-max }=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2=frac{1}{2} L cdotleft(E sqrt{frac{C}{L}}right)^2=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 \
& text { donc } quad xi_{e-max }=xi_{m-max }=xi_{max } text { et } quad xi_m(t)=xi_{max } cdot sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{aligned}
$$
c) L’énergie totale
L’énergie emmagasinée dans le circuit est: $xi_T=xi_e(t)+xi_m(t)$
$$
begin{aligned}
Rightarrow quad xi_{mathrm{T}}=xi_{max } cdot cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)+xi_{max } cdot sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) & Rightarrow xi_{mathrm{T}}=xi_{max }=xi_{max } \
& Rightarrow xi_{mathrm{T}}=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2
end{aligned}
$$
l’énergie total du circuit LC se conserve.
Remarques
⊹ La période de la variation de l’énergie
$$
begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline mathbf{t} & 0 & T_0 / 4 & T_0 / 2 & 3 T_0 / 4 & T_0 \
hline xi_e(boldsymbol{t}) & xi_{max } & 0 & xi_{max } & 0 & xi_{max } \
hline boldsymbol{xi}_m(boldsymbol{t}) & 0 & xi_{max } & 0 & xi_{max } & 0 \
hline
end{array}
$$
$$
text { La période des variations de l’énergie est la moitié de la période propre. }
$$
⊹ La conservation de l’énergie totale
$$
begin{array}{rlll}
xi_T=frac{1}{2} C u_c^2+frac{1}{2} L i^2 quad Rightarrow & frac{d xi_T}{d t}=C cdot u_c cdot frac{d u_c}{d t}+L cdot i cdot frac{d i}{d t} quad Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=u_c cdot i+u_b cdot boldsymbol{i} \
Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=left(u_c+u_bright) cdot i & Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=0 quad Rightarrow quad xi_T=text { Cte }
end{array}
$$
$$
xi=fleft(u_cright)
$$
$$
$$
xi=fleft(u_c{ }^2right)
$$
III. Influence de la résistance $R$ sur les oscillations (RLC).
1) L’équation différentielle.
La loi d’additivité des tensions:
$$
u_c+u_b+u_R=0
$$
avec : $quad u_R=R . i=R C frac{d u_C}{d t} quad$ et $quad u_b=r . i+L cdot frac{d i}{d t}=r C cdot frac{d u_C}{d t}+L C cdot frac{d^2 u_C}{d t^2}$.
donc : $u_C+(R+r) cdot C frac{d u_C}{d t}+L C cdot frac{d^2 u_C}{d t^2}=0 quad Rightarrow quad frac{d^2 u_C}{d t^2}+left(frac{R+r}{L}right) frac{d u_C}{d t}+frac{1}{L C} cdot u_C=0$.
en régime pseudopériodique, la tension $u_c(t)$ et l’intensité $i(t)$ varient de la façon suivante:
2) Étude énergétique.
L’énergie totale emmagasinée dans la circuit RLC est: $boldsymbol{xi}_{mathrm{T}}=frac{1}{2} mathrm{Cu}_{mathrm{c}}^2+frac{1}{2} mathrm{~L} i^2$
Donc $frac{d xi_T}{d t}=C . u_c cdot frac{d u_c}{d t}+$ L.i. $frac{d i}{d t} quad Rightarrow frac{d xi_T}{d t}=u_c, i+u_b, i$
$Rightarrow frac{d xi_T}{d t}=left(u_c+u_bright) cdot i$, et on a d’après la loi d’additivité des tensions: $mathbf{u}_c+mathrm{L} cdot frac{d i}{d t}=-(mathrm{R}+mathrm{r}) cdot boldsymbol{i}$
$$
text { donc } frac{d xi_T}{d t}=-(R+r) i^2 Rightarrow frac{d xi_T}{d t}<0
$$
$xi_{mathrm{T}}$ diminue au cours du temps par effet joule
Remarques
ー L’énergie dissipée entre deux instant $t_1$ et $t_2$ est : $xi_{text {th }}=xi_Tleft(t_1right)-xi_Tleft(t_2right)$.
ー En régime pseudo périodique :
$checkmark$ Pour $u_c= pm U_{max }$ on $a i=0$, donc $xi_T=xi_{text {emax }}=frac{1}{2} C . u_{c max }^2$
$checkmark$ Pour $i= pm I_{max }$ on $a frac{d i}{d t}=0$ donc $u_b= pm r cdot I_{max }$ et $u_c= pm(r+R) cdot I_{max }$
Ce qui donne $xi_{mathrm{m}}=xi_{text {mmax }}$ et $xi_{mathrm{e}}=frac{1}{2} C(R+r)^2 I_m^2$
donc $xi_{mathrm{T}}=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2+frac{1}{2} C(R+r)^2 I_m^2=frac{1}{2} cdot I_{max }^2left[mathrm{~L} .+C(R+r)^2right]$
3) L’entretien des oscillations amorties
La résistance est responsable de l’amortissement des oscillations; elle consomme de l’énergie sous forme d’effet joule. Pour que les oscillations soient sinusoïdales, il faut compenser cette énergie perdue et cela en utilisant un générateur d’entretien.
La loi $d^{prime}$ additivité des tensions: $U_G=U_C+U_b+U_R Rightarrow U_G=U_C+r i+L_i frac{d i}{d t}+R i$
$$
Rightarrow u_G=u_C+R_T i+L C frac{d^2 u_C}{d t^2}
$$
pour avoir des oscillation entretenues il faut que : $u_c+L C frac{d^2 u_C}{d t^2}=0$
donc
$$
u_G=(R+r) cdot i
$$
Remarque :
Le générateur $G$ compense l’énergie perdue donc sa puissance est : $mathcal{P}_G=R_T i^2$ et on a $mathcal{P}_G=u_G . i$ donc $u_G=R_T i$.
Un condensateur de capacité $C$ initialement chargé, est branché avec une bobine d’inductance $L$ et de résistance négligeable.
À l’aide d’un oscilloscope, on visualise la tension $u_c(dagger)$ aux bornes du condensateur
1-Établir l’équation différentielle vérifiée par $u_c(t)$.
2-En déduire l’expression de la tension $u_c(dagger)$ en fonction des paramètre du circuit.
3-Exprimer l’intensité du courant en fonction du temps.
4-Une étude expérimentale nous permet de tracer la courbe qui représente la variation de l’énergie électrique $mathrm{E}_e$ emmagasinée dans le condensateur en fonction de $i^2$ (figure 3 ).
4-1-Montrer que l’énergie totale $mathcal{E}_{text {T }}$ se conserve au cours du temps.
4-2-Déterminer l’expression de l’énergie globale $mathcal{E}_{mathrm{T}}$ en fonction de $i^2$ et d’autre paramètres du circuit.
4-3-justifier la forme de la courbe de la figure 3.
5 –En utilisant les figure 2 et 3 , déterminer les valeurs de $I_m, L, C$ et $Q_m$.
On réalise le circuit représenté sur la figure 1 qui est constitué de :
– Un générateur de tension de f.e.m $E$ et de résistance interne négligeable.
– Un condensateur de capacité $C=9.10^{-4} mathrm{~F}$.
– Une bobine d’inductance $L$ et de résistance $r$.
– Un interrupteur K à double position.
On met l’interrupteur à la position 1 jusqu’à ce que le condensateur soit chargé totalement et on le bascule vers la position 2 à l’instant $t=0$.
1- Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur.
2-Déterminer l’expression de la période propre $T_0$ pour que l’expression $q(t)=Q_m cos left(frac{2 pi}{T_0} . tright)$ soit solution de l’équation différentielle.
3-Vérifier que $mathrm{T}_0$ a une dimension temporelle.
4-Montrer que l’énergie électrique $mathcal{E}_e s^{prime}$ écrit de la forme suivante $mathcal{E}_e(t)=frac{1}{4} cdot C cdot E^2left(1-cos left(frac{4 pi}{T_0} cdot tright)right)$.
5-La figure 2 donne les variations de l’énergie électrique $varepsilon_e$ en fonction du temps.
5-1 Déterminer la valeur de To.
5-2 En déduire la valeur de l’inductance de la bobine utilisée.
5-3 Déterminer la valeur de f.e.m $E$ du générateur et déduire la valeur de $Q_m$.
I. Décharge d’un condensateur dans une bobine.
1) Expérience.
Considérons le circuit suivant :
✹K est en position 1 , le condensateur se Charge, à la fin de la charge on a:
$$
u_{c max }=E quad, quad q_{max }=C cdot E quad text { et } quad xi_{max }=frac{1}{2} cdot C cdot E^2
$$
✹À un instant $t=0$ on bascule $k$ en position 2 et on visualise la tension $u_c$ au borne du condensateur pour une $R$ résistance faible, on obtient la courbe ci-dessous.
✹$hat{A}$ un instant $t=0$ on bascule $k$ en position 2 et on visualise la tension $u_c$ au borne du condensateur pour une $R$ résistance faible, on obtient la courbe ci-dessous.
On obtient des oscillations dont l’amplitude diminue (un amortissement).
Donc le circuit RLC est le siège d’oscillation électrique libre et amortie.
2) Les régimes d’oscillation.
On enregistre la tension $u_c $ aux bornes du condensateur, pour différentes valeurs de la résistance $R_T=R+r$.
✹Si $mathrm{R}_T$ est faible, on obtient des oscillations amorties. Le régime est dit pseudopériodique, la durée $T$ est la pseudopériode.
✹Si $R$ est élevée, il n’y a plus d’oscillations. Le régime est dit apériodique.
La valeur de la résistance correspondant au passage du régime pseudopériodique au régime apériodique est appelée résistance critique $R_c$; sa valeur dépend de $L$ et de $C$. donc pour $R=R_c$ on obtient un régime critique.
La courbe de la tension du condensateur selon la valeur de la résistance du circuit :
Influence des paramètres du circuit
•L’influence de la résistance
• L’influence de la capacité ou de l’inductance
II. Décharge d’un condensateur dans une bobine idéale (LC).
1) Équation différentielle.
La loi d’additivité des tensions: $u_c+u_b=0 Rightarrow u_c+L cdot frac{d i}{d t}=0$
$$
begin{array}{ll}
Rightarrow & u_c+L C cdot frac{d^2 u_c}{d t^2}=0 \
Rightarrow & quad frac{d^2 u_c}{d t^2}+frac{1}{L C} cdot u_c=0
end{array}
$$
2) Ia solution de l’équation différentielle.
La solution générale de l’équation différentielle précédente est de la forme :
$$
u_c(t)=A cdot cos left(omega_0 t+varphiright)
$$
avec:
$omega_0$ la pulsation propre du circuit, $omega_0=frac{2 pi}{T_0}$ (en : rad $/ mathrm{s}$ ).
$mathrm{T}_0$ : période propre des oscillations. (en : s)
A : amplitude, $c^{prime}$ est la tension maximum $A=u_{c max }=E$.
$varphi$ : c’est la phase initiale ( à $t=0$ ), c’est une constante qui dépend des conditions initiales. (en: rad) $(-pi<varphi leq pi)$
a) Détermination de la période propre :
$$
begin{aligned}
text { on } a: u_c(t)=A cdot cos left(omega_0 t+varphiright) & Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}=-left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot U_{C max } cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} t+varphiright) \
& Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}=-left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot u_c(t) Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}+left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot u_c(t)=0
end{aligned}
$$
par identification avec l’équation différentielle, on $a:left(frac{2 pi}{T_0}right)^2=frac{1}{L C} quad Rightarrow quad T_0=2 pi cdot sqrt{L C}$
b) Détermination de la phase:
$grave{A} t=0$ on $a u_c=U_{text {cmax }} Rightarrow cos (varphi)=1 Rightarrow varphi=0$.
Donc $quad: u_c(t)=E cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} tright)$
3) L’intensité du courant $i(t)$.
$$
begin{aligned}
& left.begin{array}{cc}
text { on a } & u_c(t)=E cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} tright) \
text { et } & i(t)=C frac{d u_c}{d t}
end{array}right} i(t)=-C E frac{2 pi}{T_0} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright) quad text { d’où } quad i(t)=-E sqrt{frac{C}{L}} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright) \
& -1 leq sin left(frac{2 pi}{T_0} cdot tright) leq 1 quad Rightarrow quad-E sqrt{frac{C}{L}} leq i(t) leq E sqrt{frac{c}{L}} quad Rightarrow quad mathrm{I}_{max }=mathrm{E} sqrt{frac{C}{L}} \
& text { Donc : } i(t)=-mathrm{I}_{mathrm{m}} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{aligned}
$$
$$
begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline t & 0 & T_0 / 4 & T_0 / 2 & 3 T_0 / 4 & mathrm{~T}_0 \
hline mathrm{u}_{mathrm{c}}(t) & mathbf{E} & 0 & -mathrm{E} & 0 & mathbf{E} \
hline i(t) & 0 & -mathrm{I}_{mathrm{m}} & 0 & mathrm{I}_{mathrm{m}} & mathbf{0} \
hline
end{array}
$$
4) Étude énergétique.
a) L’énergie électrique:
L’énergie emmagasinée par le condensateur à un instant t est : $quad xi_e(t)=frac{1}{2} C . u_c^2$
$$
begin{array}{r}
Rightarrow quad xi_e(t)=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) text { et on a } xi_{e-max }=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 \
text { donc } xi_e(t)=xi_{e-max } cdot cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{array}
$$
b) L’énergie magnétique
L’énergie emmagasinée par la bobine à un instant $t$ est : $quad xi_m(t)=frac{1}{2} L . i^2$
$$
begin{aligned}
& Rightarrow quad xi_m(t)=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2 sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) quad text { et on a } xi_{m-max }=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2=frac{1}{2} L cdotleft(E sqrt{frac{C}{L}}right)^2=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 \
& text { donc } quad xi_{e-max }=xi_{m-max }=xi_{max } text { et } quad xi_m(t)=xi_{max } cdot sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{aligned}
$$
c) L’énergie totale
L’énergie emmagasinée dans le circuit est: $xi_T=xi_e(t)+xi_m(t)$
$$
begin{aligned}
Rightarrow quad xi_{mathrm{T}}=xi_{max } cdot cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)+xi_{max } cdot sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) & Rightarrow xi_{mathrm{T}}=xi_{max }=xi_{max } \
& Rightarrow xi_{mathrm{T}}=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2
end{aligned}
$$
l’énergie total du circuit LC se conserve.
Remarques
⊹ La période de la variation de l’énergie
$$
begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline mathbf{t} & 0 & T_0 / 4 & T_0 / 2 & 3 T_0 / 4 & T_0 \
hline xi_e(boldsymbol{t}) & xi_{max } & 0 & xi_{max } & 0 & xi_{max } \
hline boldsymbol{xi}_m(boldsymbol{t}) & 0 & xi_{max } & 0 & xi_{max } & 0 \
hline
end{array}
$$
$$
text { La période des variations de l’énergie est la moitié de la période propre. }
$$
⊹ La conservation de l’énergie totale
$$
begin{array}{rlll}
xi_T=frac{1}{2} C u_c^2+frac{1}{2} L i^2 quad Rightarrow & frac{d xi_T}{d t}=C cdot u_c cdot frac{d u_c}{d t}+L cdot i cdot frac{d i}{d t} quad Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=u_c cdot i+u_b cdot boldsymbol{i} \
Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=left(u_c+u_bright) cdot i & Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=0 quad Rightarrow quad xi_T=text { Cte }
end{array}
$$
$$
xi=fleft(u_cright)
$$$$
$$
xi=fleft(u_c{ }^2right)
$$
III. Influence de la résistance $R$ sur les oscillations (RLC).
1) L’équation différentielle.
La loi d’additivité des tensions:
$$
u_c+u_b+u_R=0
$$
avec : $quad u_R=R . i=R C frac{d u_C}{d t} quad$ et $quad u_b=r . i+L cdot frac{d i}{d t}=r C cdot frac{d u_C}{d t}+L C cdot frac{d^2 u_C}{d t^2}$.
donc : $u_C+(R+r) cdot C frac{d u_C}{d t}+L C cdot frac{d^2 u_C}{d t^2}=0 quad Rightarrow quad frac{d^2 u_C}{d t^2}+left(frac{R+r}{L}right) frac{d u_C}{d t}+frac{1}{L C} cdot u_C=0$.
en régime pseudopériodique, la tension $u_c(t)$ et l’intensité $i(t)$ varient de la façon suivante:
2) Étude énergétique.
L’énergie totale emmagasinée dans la circuit RLC est: $boldsymbol{xi}_{mathrm{T}}=frac{1}{2} mathrm{Cu}_{mathrm{c}}^2+frac{1}{2} mathrm{~L} i^2$
Donc $frac{d xi_T}{d t}=C . u_c cdot frac{d u_c}{d t}+$ L.i. $frac{d i}{d t} quad Rightarrow frac{d xi_T}{d t}=u_c, i+u_b, i$
$Rightarrow frac{d xi_T}{d t}=left(u_c+u_bright) cdot i$, et on a d’après la loi d’additivité des tensions: $mathbf{u}_c+mathrm{L} cdot frac{d i}{d t}=-(mathrm{R}+mathrm{r}) cdot boldsymbol{i}$
$$
text { donc } frac{d xi_T}{d t}=-(R+r) i^2 Rightarrow frac{d xi_T}{d t}<0
$$
$xi_{mathrm{T}}$ diminue au cours du temps par effet joule
Remarques
ー L’énergie dissipée entre deux instant $t_1$ et $t_2$ est : $xi_{text {th }}=xi_Tleft(t_1right)-xi_Tleft(t_2right)$.
ー En régime pseudo périodique :
$checkmark$ Pour $u_c= pm U_{max }$ on $a i=0$, donc $xi_T=xi_{text {emax }}=frac{1}{2} C . u_{c max }^2$
$checkmark$ Pour $i= pm I_{max }$ on $a frac{d i}{d t}=0$ donc $u_b= pm r cdot I_{max }$ et $u_c= pm(r+R) cdot I_{max }$
Ce qui donne $xi_{mathrm{m}}=xi_{text {mmax }}$ et $xi_{mathrm{e}}=frac{1}{2} C(R+r)^2 I_m^2$
donc $xi_{mathrm{T}}=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2+frac{1}{2} C(R+r)^2 I_m^2=frac{1}{2} cdot I_{max }^2left[mathrm{~L} .+C(R+r)^2right]$
3) L’entretien des oscillations amorties
La résistance est responsable de l’amortissement des oscillations; elle consomme de l’énergie sous forme d’effet joule. Pour que les oscillations soient sinusoïdales, il faut compenser cette énergie perdue et cela en utilisant un générateur d’entretien.
La loi $d^{prime}$ additivité des tensions: $U_G=U_C+U_b+U_R Rightarrow U_G=U_C+r i+L_i frac{d i}{d t}+R i$
$$
Rightarrow u_G=u_C+R_T i+L C frac{d^2 u_C}{d t^2}
$$
pour avoir des oscillation entretenues il faut que : $u_c+L C frac{d^2 u_C}{d t^2}=0$
donc
$$
u_G=(R+r) cdot i
$$
Remarque :
Le générateur $G$ compense l’énergie perdue donc sa puissance est : $mathcal{P}_G=R_T i^2$ et on a $mathcal{P}_G=u_G . i$ donc $u_G=R_T i$.
1) Expérience.
Considérons le circuit suivant :
✹K est en position 1 , le condensateur se Charge, à la fin de la charge on a:
$$
u_{c max }=E quad, quad q_{max }=C cdot E quad text { et } quad xi_{max }=frac{1}{2} cdot C cdot E^2
$$
✹À un instant $t=0$ on bascule $k$ en position 2 et on visualise la tension $u_c$ au borne du condensateur pour une $R$ résistance faible, on obtient la courbe ci-dessous.
✹$hat{A}$ un instant $t=0$ on bascule $k$ en position 2 et on visualise la tension $u_c$ au borne du condensateur pour une $R$ résistance faible, on obtient la courbe ci-dessous.
On obtient des oscillations dont l’amplitude diminue (un amortissement).
Donc le circuit RLC est le siège d’oscillation électrique libre et amortie.
2) Les régimes d’oscillation.
On enregistre la tension $u_c $ aux bornes du condensateur, pour différentes valeurs de la résistance $R_T=R+r$.
✹Si $mathrm{R}_T$ est faible, on obtient des oscillations amorties. Le régime est dit pseudopériodique, la durée $T$ est la pseudopériode.
✹Si $R$ est élevée, il n’y a plus d’oscillations. Le régime est dit apériodique.
La valeur de la résistance correspondant au passage du régime pseudopériodique au régime apériodique est appelée résistance critique $R_c$; sa valeur dépend de $L$ et de $C$. donc pour $R=R_c$ on obtient un régime critique.
La courbe de la tension du condensateur selon la valeur de la résistance du circuit :
Influence des paramètres du circuit
•L’influence de la résistance
• L’influence de la capacité ou de l’inductance
1) Équation différentielle.
La loi d’additivité des tensions: $u_c+u_b=0 Rightarrow u_c+L cdot frac{d i}{d t}=0$
$$
begin{array}{ll}
Rightarrow & u_c+L C cdot frac{d^2 u_c}{d t^2}=0 \
Rightarrow & quad frac{d^2 u_c}{d t^2}+frac{1}{L C} cdot u_c=0
end{array}
$$
2) Ia solution de l’équation différentielle.
La solution générale de l’équation différentielle précédente est de la forme :
$$
u_c(t)=A cdot cos left(omega_0 t+varphiright)
$$
avec:
$omega_0$ la pulsation propre du circuit, $omega_0=frac{2 pi}{T_0}$ (en : rad $/ mathrm{s}$ ).
$mathrm{T}_0$ : période propre des oscillations. (en : s)
A : amplitude, $c^{prime}$ est la tension maximum $A=u_{c max }=E$.
$varphi$ : c’est la phase initiale ( à $t=0$ ), c’est une constante qui dépend des conditions initiales. (en: rad) $(-pi<varphi leq pi)$
a) Détermination de la période propre :
$$
begin{aligned}
text { on } a: u_c(t)=A cdot cos left(omega_0 t+varphiright) & Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}=-left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot U_{C max } cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} t+varphiright) \
& Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}=-left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot u_c(t) Rightarrow frac{d^2 u_c}{d t^2}+left(frac{2 pi}{T_0}right)^2 cdot u_c(t)=0
end{aligned}
$$
par identification avec l’équation différentielle, on $a:left(frac{2 pi}{T_0}right)^2=frac{1}{L C} quad Rightarrow quad T_0=2 pi cdot sqrt{L C}$
b) Détermination de la phase:
$grave{A} t=0$ on $a u_c=U_{text {cmax }} Rightarrow cos (varphi)=1 Rightarrow varphi=0$.
Donc $quad: u_c(t)=E cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} tright)$
3) L’intensité du courant $i(t)$.
$$
begin{aligned}
& left.begin{array}{cc}
text { on a } & u_c(t)=E cdot cos left(frac{2 pi}{T_0} tright) \
text { et } & i(t)=C frac{d u_c}{d t}
end{array}right} i(t)=-C E frac{2 pi}{T_0} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright) quad text { d’où } quad i(t)=-E sqrt{frac{C}{L}} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright) \
& -1 leq sin left(frac{2 pi}{T_0} cdot tright) leq 1 quad Rightarrow quad-E sqrt{frac{C}{L}} leq i(t) leq E sqrt{frac{c}{L}} quad Rightarrow quad mathrm{I}_{max }=mathrm{E} sqrt{frac{C}{L}} \
& text { Donc : } i(t)=-mathrm{I}_{mathrm{m}} sin left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{aligned}
$$
$$
begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline t & 0 & T_0 / 4 & T_0 / 2 & 3 T_0 / 4 & mathrm{~T}_0 \
hline mathrm{u}_{mathrm{c}}(t) & mathbf{E} & 0 & -mathrm{E} & 0 & mathbf{E} \
hline i(t) & 0 & -mathrm{I}_{mathrm{m}} & 0 & mathrm{I}_{mathrm{m}} & mathbf{0} \
hline
end{array}
$$
4) Étude énergétique.
a) L’énergie électrique:
L’énergie emmagasinée par le condensateur à un instant t est : $quad xi_e(t)=frac{1}{2} C . u_c^2$
$$
begin{array}{r}
Rightarrow quad xi_e(t)=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) text { et on a } xi_{e-max }=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 \
text { donc } xi_e(t)=xi_{e-max } cdot cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{array}
$$
b) L’énergie magnétique
L’énergie emmagasinée par la bobine à un instant $t$ est : $quad xi_m(t)=frac{1}{2} L . i^2$
$$
begin{aligned}
& Rightarrow quad xi_m(t)=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2 sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) quad text { et on a } xi_{m-max }=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2=frac{1}{2} L cdotleft(E sqrt{frac{C}{L}}right)^2=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2 \
& text { donc } quad xi_{e-max }=xi_{m-max }=xi_{max } text { et } quad xi_m(t)=xi_{max } cdot sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)
end{aligned}
$$
c) L’énergie totale
L’énergie emmagasinée dans le circuit est: $xi_T=xi_e(t)+xi_m(t)$
$$
begin{aligned}
Rightarrow quad xi_{mathrm{T}}=xi_{max } cdot cos ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright)+xi_{max } cdot sin ^2left(frac{2 pi}{T_0} tright) & Rightarrow xi_{mathrm{T}}=xi_{max }=xi_{max } \
& Rightarrow xi_{mathrm{T}}=frac{1}{2} C cdot U_{C max }^2=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2
end{aligned}
$$
l’énergie total du circuit LC se conserve.
Remarques
⊹ La période de la variation de l’énergie
$$
begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
hline mathbf{t} & 0 & T_0 / 4 & T_0 / 2 & 3 T_0 / 4 & T_0 \
hline xi_e(boldsymbol{t}) & xi_{max } & 0 & xi_{max } & 0 & xi_{max } \
hline boldsymbol{xi}_m(boldsymbol{t}) & 0 & xi_{max } & 0 & xi_{max } & 0 \
hline
end{array}
$$
$$
text { La période des variations de l’énergie est la moitié de la période propre. }
$$
⊹ La conservation de l’énergie totale
$$
begin{array}{rlll}
xi_T=frac{1}{2} C u_c^2+frac{1}{2} L i^2 quad Rightarrow & frac{d xi_T}{d t}=C cdot u_c cdot frac{d u_c}{d t}+L cdot i cdot frac{d i}{d t} quad Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=u_c cdot i+u_b cdot boldsymbol{i} \
Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=left(u_c+u_bright) cdot i & Rightarrow quad frac{d xi_T}{d t}=0 quad Rightarrow quad xi_T=text { Cte }
end{array}
$$
$$
xi=fleft(u_cright)
$$$$
$$
xi=fleft(u_c{ }^2right)
$$
1) L’équation différentielle.
La loi d’additivité des tensions:
$$
u_c+u_b+u_R=0
$$
avec : $quad u_R=R . i=R C frac{d u_C}{d t} quad$ et $quad u_b=r . i+L cdot frac{d i}{d t}=r C cdot frac{d u_C}{d t}+L C cdot frac{d^2 u_C}{d t^2}$.
donc : $u_C+(R+r) cdot C frac{d u_C}{d t}+L C cdot frac{d^2 u_C}{d t^2}=0 quad Rightarrow quad frac{d^2 u_C}{d t^2}+left(frac{R+r}{L}right) frac{d u_C}{d t}+frac{1}{L C} cdot u_C=0$.
en régime pseudopériodique, la tension $u_c(t)$ et l’intensité $i(t)$ varient de la façon suivante:
2) Étude énergétique.
L’énergie totale emmagasinée dans la circuit RLC est: $boldsymbol{xi}_{mathrm{T}}=frac{1}{2} mathrm{Cu}_{mathrm{c}}^2+frac{1}{2} mathrm{~L} i^2$
Donc $frac{d xi_T}{d t}=C . u_c cdot frac{d u_c}{d t}+$ L.i. $frac{d i}{d t} quad Rightarrow frac{d xi_T}{d t}=u_c, i+u_b, i$
$Rightarrow frac{d xi_T}{d t}=left(u_c+u_bright) cdot i$, et on a d’après la loi d’additivité des tensions: $mathbf{u}_c+mathrm{L} cdot frac{d i}{d t}=-(mathrm{R}+mathrm{r}) cdot boldsymbol{i}$
$$
text { donc } frac{d xi_T}{d t}=-(R+r) i^2 Rightarrow frac{d xi_T}{d t}<0
$$
$xi_{mathrm{T}}$ diminue au cours du temps par effet joule
Remarques
ー L’énergie dissipée entre deux instant $t_1$ et $t_2$ est : $xi_{text {th }}=xi_Tleft(t_1right)-xi_Tleft(t_2right)$.
ー En régime pseudo périodique :
$checkmark$ Pour $u_c= pm U_{max }$ on $a i=0$, donc $xi_T=xi_{text {emax }}=frac{1}{2} C . u_{c max }^2$
$checkmark$ Pour $i= pm I_{max }$ on $a frac{d i}{d t}=0$ donc $u_b= pm r cdot I_{max }$ et $u_c= pm(r+R) cdot I_{max }$
Ce qui donne $xi_{mathrm{m}}=xi_{text {mmax }}$ et $xi_{mathrm{e}}=frac{1}{2} C(R+r)^2 I_m^2$
donc $xi_{mathrm{T}}=frac{1}{2} L cdot I_{max }^2+frac{1}{2} C(R+r)^2 I_m^2=frac{1}{2} cdot I_{max }^2left[mathrm{~L} .+C(R+r)^2right]$
3) L’entretien des oscillations amorties
La résistance est responsable de l’amortissement des oscillations; elle consomme de l’énergie sous forme d’effet joule. Pour que les oscillations soient sinusoïdales, il faut compenser cette énergie perdue et cela en utilisant un générateur d’entretien.
La loi $d^{prime}$ additivité des tensions: $U_G=U_C+U_b+U_R Rightarrow U_G=U_C+r i+L_i frac{d i}{d t}+R i$
$$
Rightarrow u_G=u_C+R_T i+L C frac{d^2 u_C}{d t^2}
$$
pour avoir des oscillation entretenues il faut que : $u_c+L C frac{d^2 u_C}{d t^2}=0$
donc
$$
u_G=(R+r) cdot i
$$
Remarque :
Le générateur $G$ compense l’énergie perdue donc sa puissance est : $mathcal{P}_G=R_T i^2$ et on a $mathcal{P}_G=u_G . i$ donc $u_G=R_T i$.
Un condensateur de capacité $C$ initialement chargé, est branché avec une bobine d’inductance $L$ et de résistance négligeable.
À l’aide d’un oscilloscope, on visualise la tension $u_c(dagger)$ aux bornes du condensateur
1-Établir l’équation différentielle vérifiée par $u_c(t)$.
2-En déduire l’expression de la tension $u_c(dagger)$ en fonction des paramètre du circuit.
3-Exprimer l’intensité du courant en fonction du temps.
4-Une étude expérimentale nous permet de tracer la courbe qui représente la variation de l’énergie électrique $mathrm{E}_e$ emmagasinée dans le condensateur en fonction de $i^2$ (figure 3 ).
4-1-Montrer que l’énergie totale $mathcal{E}_{text {T }}$ se conserve au cours du temps.
4-2-Déterminer l’expression de l’énergie globale $mathcal{E}_{mathrm{T}}$ en fonction de $i^2$ et d’autre paramètres du circuit.
4-3-justifier la forme de la courbe de la figure 3.
5 –En utilisant les figure 2 et 3 , déterminer les valeurs de $I_m, L, C$ et $Q_m$.
On réalise le circuit représenté sur la figure 1 qui est constitué de :
– Un générateur de tension de f.e.m $E$ et de résistance interne négligeable.
– Un condensateur de capacité $C=9.10^{-4} mathrm{~F}$.
– Une bobine d’inductance $L$ et de résistance $r$.
– Un interrupteur K à double position.
On met l’interrupteur à la position 1 jusqu’à ce que le condensateur soit chargé totalement et on le bascule vers la position 2 à l’instant $t=0$.
1- Établir l’équation différentielle vérifiée par la charge q du condensateur.
2-Déterminer l’expression de la période propre $T_0$ pour que l’expression $q(t)=Q_m cos left(frac{2 pi}{T_0} . tright)$ soit solution de l’équation différentielle.
3-Vérifier que $mathrm{T}_0$ a une dimension temporelle.
4-Montrer que l’énergie électrique $mathcal{E}_e s^{prime}$ écrit de la forme suivante $mathcal{E}_e(t)=frac{1}{4} cdot C cdot E^2left(1-cos left(frac{4 pi}{T_0} cdot tright)right)$.
5-La figure 2 donne les variations de l’énergie électrique $varepsilon_e$ en fonction du temps.
5-1 Déterminer la valeur de To.
5-2 En déduire la valeur de l’inductance de la bobine utilisée.
5-3 Déterminer la valeur de f.e.m $E$ du générateur et déduire la valeur de $Q_m$.