SATELLITES ET PLANÈTES

L'étude du mouvement des planètes s'effectue dans un repère héliocentrique (Constitué du centre du soleil et de trois étoiles lointaines considérées fixes.).
L'étude du mouvement des satellites de la terre se fait dans un repère géocentrique (Constitué du centre de la Terre et de trois étoiles lointaines considérées fixes dans le ciel).

$\Rightarrow$ Ces deux référentiels sont considérés comme galiléens (les lois de Newton y sont applicables).

1. Lois de Kepler

1.1 La première loi : Loi des orbites elliptiques

Première loi de Kepler
Dans le référentiel héliocentrique, la trajectoire du centre d'inertie d'une planète est elliptique dont l'un des foyers est le centre de soleil.

Mathématiquement : L'ellipse est une courbe plane dont la somme des deux distances séparant un point $M$ des deux foyers $F$ et $F'$ de l'ellipse, est constant :

$$FM + F'M = 2a$$

tel que : $a$ est le demi grand axe de l'ellipse.

1.2 La deuxième loi : Loi des aires

Deuxième loi de Kepler
Le segment de droite $[SP]$ reliant le soleil $(S)$ à une planète $(P)$ balaie des aires égales pendant des durées égales.

Sur le schéma ci-contre : L'aire$(SP_1P_2) =$ L'aire$(SP_3P_4)$

1.3 La troisième loi de Kepler : Loi des périodes

Troisième loi de Kepler
Le carré de la période de révolution $T$ d'une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe $a$ de la trajectoire elliptique de la planète :

$$\frac{T^2}{a^3} = k$$

avec $T$ en (s), et $a$ en (m), $k$ est une constante indépendante de la masse de la planète.

Remarque :
Pour les planètes d'orbite considéré circulaire de rayon $r$, on applique les lois de Kepler en considérant que les foyers de l'ellipse sont confondus avec le centre du cercle.

Loi des aires : il en découle que la vitesse de la planète autour du soleil est constante.
Loi des périodes : $\frac{T^2}{r^3} = k$ tel que $r$ est le rayon du cercle.

2. Mouvement circulaire uniforme

2.1 Caractéristiques d'un mouvement circulaire uniforme (Rappel)

Un mobile est en mouvement circulaire uniforme si sa trajectoire est un cercle et si la valeur de la vitesse de son centre d'inertie est constante, c-à-d :

La vitesse angulaire est constante : $\omega = \dot{\theta} = \frac{d\theta}{dt} = \frac{V}{r} =$ Cte (rad.s$^{-1}$)
Vecteur vitesse dans la base de Frenet : $\vec{v} = v \cdot \vec{u} = r \cdot \omega \cdot \vec{u}$
Vecteur accélération dans la base de Frenet : $\vec{a} = \frac{dv}{dt} \cdot \vec{u} + \frac{v^2}{r} \cdot \vec{n}$

et puisque la vitesse linéaire est constante $v =$ Cte. donc $\frac{dv}{dt} = 0$

D'où $\vec{a} = \frac{v^2}{r} \cdot \vec{n} \Rightarrow$ le vecteur vitesse accélération est centripète.

La période de révolution :

$$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi \cdot r}{v}$$

2.2 Conditions d'un mouvement circulaire uniforme

Soit un mobile de masse $m$ et son centre d'inertie $G$ est animé d'un mouvement circulaire uniforme de rayon $r$.

Dans un repère galiléen, on applique le principe fondamentale de la dynamique : $\Sigma \vec{F}_{ext} = \vec{F} = m \cdot \vec{a}_G$

$\vec{F}$ : La résultantes des forces agissantes sur le mobile.

On a : $\vec{a}_G = \frac{V^2}{r} \vec{n}$ vu que Le mouvement est uniforme, et $a_u = \frac{dv}{dt} = 0$

Donc :

$$\vec{F} = m \cdot \frac{V^2}{r} \cdot \vec{n}$$

Conclusion : Pour que le mouvement du centre d'inertie d'un mobile circulaire soit uniforme, il faut que :

La résultante des forces soit centripète (dirigée vers le centre)
Le module de la résultante des forces est constant et vérifie la relation.

Donc :

$$F = m \cdot \frac{V^2}{r}$$

3. Application de la deuxième loi de Newton

3.1 Loi de la gravitation universelle

Deux corps ponctuels $A$ et $B$ de masses respectives $m_A$ et $m_B$ s'attirent avec des forces de mêmes valeurs (mais de sens opposés), proportionnelles à chacune des masses et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare $d = AB$. Cette force a pour direction la droite passant par les centres de gravité de ces deux corps :

$$\vec{F}_{A/B} = -\vec{F}_{B/A} = -G \cdot \frac{m_A \cdot m_B}{d^2} \cdot \vec{u}_{AB}$$

tel que :

$G$ : La constante gravitationnelle, $G = 6,67 \cdot 10^{-11}$ N.m$^2$.Kg$^{-2}$.
$\vec{u}_{AB}$ : vecteur unitaire.

4. Mouvement orbitale de la planète

4.1 Application de la loi fondamentale de la dynamique au centre d'inertie d'une planète

On considère une planète de masse $m_P$ et de centre d'inertie $P$ en mouvement circulaire autour du soleil de masse $M_S$ et de centre $S$.

4.1.1 Nature du mouvement

La planète est soumise à la force d'attraction universelle du soleil :

$$\vec{F}_{S/P} = -G \cdot \frac{M_S \cdot m_P}{r^2} \cdot \vec{u}_{S/P}$$

En appliquant la loi fondamentale de la dynamique à la planète on écrit :

$\vec{F}_{S/P} = m_P \cdot \vec{a}_P \Rightarrow -G \cdot \frac{M_S \cdot m_P}{r^2} \cdot \vec{u}_{S/P} = m_P \cdot \vec{a}_P$

$\Rightarrow -G \cdot \frac{M_S}{r^2} \cdot \vec{u}_{S/P} = a_P \vec{n}$ et puisque $\vec{u}_{S/P} = -\vec{n}$

C-à-d : $G \cdot \frac{M_S}{r^2} \cdot \vec{n} = a_P \vec{n}$. Cela montre que $\vec{a}$ est centripète de module constant :

$$a_P = G \cdot \frac{M_S}{r^2}$$

On déduit que le mouvement de la planète est circulaire uniforme.

4.1.2 Vitesse de la planète

Puisque : $a_P = G \cdot \frac{M_S}{r^2} = \frac{v^2}{r} \Rightarrow v^2 = G \cdot \frac{M_S}{r}$ donc :

$$v = \sqrt{G \cdot \frac{M_S}{r}}$$

Cette expression montre que la vitesse de la planète est indépendante de sa masse.

4.1.3 Période orbitale d'une planète

Le mouvement de la planète est circulaire uniforme de période $T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi \cdot r}{v}$

et on a : $v = \sqrt{G \cdot \frac{M_S}{r}}$ donc :

$T = \frac{2\pi \cdot r}{\sqrt{G \cdot \frac{M_S}{r}}} \Rightarrow$

$$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M_S}}$$

Remarque : On a : $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{r^3}{G \cdot M_S}}$ c-à-d $T^2 = \frac{4\pi^2 \cdot r^3}{G \cdot M_S}$ donc $\frac{T^2}{r^3} = \frac{4\pi^2}{G \cdot M_S} =$ Cte

Cette relation représente la troisième loi de Kepler.
Connaissant la période de révolution $T$ de la planète étudiée et le rayon de son orbite, on peut calculer la masse $M_S$ du soleil.

5. Mouvement planétaire des planètes et satellites

5.1 Expression de la vitesse et de la période orbitale

Les satellites terrestres sont des corps en mouvement orbital autour de la terre pour une mission bien précise.

Soit une planète de masse $m_P$ décrivant un mouvement circulaire uniforme autour de la terre, et à une altitude $h$ de la surface de la Terre.

On appliquant le principe fondamental de la dynamique.
En conservant les mêmes relations obtenues au paragraphe précédent et en remplaçant la masse du soleil $M_S$ par la masse de la terre $M_T$, on obtient les résultats suivants :

Dans le référentiel géocentrique, le mouvement d'un satellite autour de la terre est circulaire uniforme de vitesse :

$$v = \sqrt{G \cdot \frac{M_T}{r}} = \sqrt{G \cdot \frac{M_T}{R_T + h}}$$

et de période orbitale :

$$T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{(R_T + h)^3}{G \cdot M_T}}$$

tel que $R_T$ le rayon de la terre et $h$ l'altitude du satellite de sa surface.

5.2 Satellisation

La satellisation en astronautique est le fait d'imprimer à un satellite un mouvement périodique autour d'une planète, cette technique se fait en deux étapes :

Porter le satellite par une navette spatiale à une altitude $h > 200$ km de la surface de la terre.
Libérer le satellite avec une vitesse $\vec{v}_0$ perpendiculaire à $\vec{TS}$, tel que sa valeur est :

$$v_0 = \sqrt{\frac{G \cdot M_T}{R_T + h}}$$

5.3 Satellites géostationnaires

Un satellite est géostationnaire s'il reste immobile pour un observateur terrestre.

Pour qu'un satellite soit géostationnaire, il doit vérifier les conditions suivantes :

Son orbite appartient au plan équatorial.
Le sens de son mouvement est le même que celui de la terre autour d'elle-même.
Sa période de révolution est égale à celle de la terre autour d'elle-même : $T_{Sat} = T_T \simeq 24$ h.

On peut calculer l'altitude à laquelle le satellite doit se situer pour satisfaire cette dernière condition :

On a : $T = 2\pi \cdot \sqrt{\frac{(R_T + h)^3}{G \cdot M_T}}$ c-à-d $T^2 = 4\pi^2 \cdot \frac{(R_T + h)^3}{G \cdot M_T}$ donc :

$$h = \sqrt[3]{\frac{T^2 \cdot G \cdot M_T}{4 \cdot \pi^2}} - R_T$$

Application numérique : $h \simeq 36000$ km

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