LES OSCILLATIONS FORCÉES DANS UN CIRCUIT RLC SÉRIE

1.1 Intensité de courant alternatif sinusoïdal

L'intensité du courant alternatif sinusoïdal est une fonction du temps qui s'écrit sous la forme :

• $I_m$ : Amplitude ou intensité maximale du courant (A).
• $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \cdot N$ : pulsation du courant (rad/s).
• $\omega \cdot t + \varphi_i$ : phase du courant à l'instant $t$ (rad).
• $\varphi_i$ : phase à l'origine des temps $t = 0$ (rad).

⋆ On rappelle que $I = \frac{I_m}{\sqrt{2}}$ est l'intensité de courant efficace mesurée par un ampèremètre.

1.2 Tension alternative sinusoïdale

La tension alternative sinusoïdale est une fonction du temps, qui s'écrit sous la forme :

• $U_m$ : Amplitude ou tension maximale de la tension (V).
• $\omega = \frac{2\pi}{T} = 2\pi \cdot N$ : pulsation de $u(t)$ (rad/s).
• $\omega \cdot t + \varphi_u$ : phase de la tension à l'instant $t$ (rad).
• $\varphi_u$ : phase à l'origine des temps $t = 0$ (rad).

⋆ On rappelle que $U = \frac{U_m}{\sqrt{2}}$ est la tension efficace mesurée par un voltmètre.

1.3 Notion de phase

On considère les deux grandeurs sinusoïdales suivantes :
$i(t) = I_m \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_i)$ et $u(t) = U_m \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi_u)$

On appelle différence de phase entre $u(t)$ et $i(t)$ la grandeur :

exprimée en (rad).

⋆ $\varphi$ permet de mesurer l'avance ou le retard de la tension $u(t)$ par rapport à l'intensité de courant $i(t)$.

• si $\varphi > 0$ : $u(t)$ est en avance de phase par rapport à $i(t)$.
• si $\varphi < 0$ : $i(t)$ est en retard de phase par rapport à $u(t)$.
• si $\varphi = \frac{\pi}{2}$ : $u(t)$ et $i(t)$ sont en quadrature de phase.
• si $\varphi = \pi$ : $u(t)$ et $i(t)$ sont en opposition de phase.
• si $\varphi = 0$ : $u(t)$ et $i(t)$ sont en phase.

Exemple
Déterminer l'expression de l'intensité de courant alternatif sinusoïdal qui traverse un condensateur de capacité $C$, sachant que la tension à ses bornes : $u(t) = U \cdot \sqrt{2} \cos(\omega \cdot t)$.

Réponse
On sait que l'intensité de courant qui parcourt le condensateur s'écrit : $i(t) = C \cdot \frac{du_C}{dt}$

$i(t) = -C \cdot U \cdot \sqrt{2} \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t) \Rightarrow i(t) = -C \cdot U \cdot \sqrt{2} \cdot \omega \cdot \cos\left(\omega \cdot t + \frac{\pi}{2}\right)$

L'intensité de courant efficace : $I = C \cdot U \cdot \omega$ et $\varphi = \varphi_u - \varphi_i = 0 - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow i(t)$ est en avance de phase par rapport à $u(t)$.

2.1 Activité

Matériel :
GBF, Condensateur de capacité $C = 2,8$ $\mu$F, bobine $(L = 1,0$ H, $r = 20$ $\Omega$), conducteur ohmique de résistance $R = 30$ $\Omega$, multimètres, oscilloscope et fils de connexions.

On réalise le montage électrique ci-contre où on règle le générateur à basses fréquences (GBF) à une tension alternative sinusoïdale de valeur maximale $U_m = 2$ V et de fréquence $N = 100$ Hz.

On visualise, à l'oscilloscope, la tension $u_R$ aux bornes conducteur ohmique (entrée Y1) et la tension $u(t)$ aux bornes du circuit RLC (entrée Y2).

On mesure, par un ampèremètre, l'intensité efficace du courant électrique $I$ qui parcourt le circuit, et par un voltmètre, la tension efficace $U$ aux bornes du circuit RLC.

⋆ On appelle excitateur le générateur et résonateur le circuit RLC série.

1. Pourquoi la visualisation de la tension $u_R(t)$ permet de visualiser les variations de l'intensité de courant $i(t)$ ?
2. Calculer l'intensité maximale $I_m$ du courant.
3. Les deux courbes obtenues ont : même amplitude ? même fréquence ? même phase ?
4. Le circuit RLC série se trouve dans un régime sinusoïdal forcé. Expliquer.
5. On sait que la différence de phase vaut $\varphi = \frac{2\pi \cdot \tau}{T}$, vérifier que l'inductance propre $L$ et la capacité $C$ ainsi que la fréquence $N$ du GBF, influencent la valeur du retard temporel $\tau$.

Réponses

1. On sait que : $u_R = R \cdot i$ donc $i = \frac{u_R}{R}$. La courbe donnée par Y1 est proportionnelle à l'intensité de courant $i(t)$.
2. Intensité maximale : $I_m = \frac{U_m}{R} = \frac{2}{30} = 66,67$ mA.
3. les deux courbes $u(t)$ et $i(t)$ ont la même fréquence et n'ont pas la même amplitude et n'ont pas forcément la même phase.
4. Les courbes $u(t)$ aux bornes du circuit RLC et l'intensité de courant $i(t)$ sont des fonctions sinusoïdales ce qui montre que le circuit se trouve dans un régime sinusoïdal forcé imposé par l'excitateur (générateur).
5. La différence de phase $\varphi$ dépend de la valeur de $L$ et $C$ ainsi que la fréquence du générateur.

2.2 Notion d'impédance

On reprend l'expérience précédente en prenant $N_1 = 100$ Hz.
On varie la tension efficace délivrée par le GBF et on mesure à chaque fois l'intensité efficace $I$ du courant électrique traversant le circuit.
On règle maintenant la fréquence à la valeur $N_2 = 500$ Hz, et on refait les mêmes mesures. On transmet les résultats dans le tableau suivant :

1. Tracer, dans le même graphique, les courbes représentant la variation de $U$ en fonction de $I$ pour les fréquences $N_1$ et $N_2$.
2. Le coefficient directeur de $U = f(I)$ de symbole $Z$, représente l'impédance du circuit, qui est une grandeur physique caractérisant le circuit RLC pour une fréquence donnée. Donner son unité, et calculer sa valeur pour les deux fréquence $N_1$ et $N_2$. Conclure.
3. L'étude théorique montre que l'impédance $Z$ du circuit vaut : $Z = \sqrt{(R + r)^2 + \left(L \cdot 2\pi \cdot N - \frac{1}{C \cdot 2\pi \cdot N}\right)^2}$.
   Calculer $Z$ pour la fréquence $N = 100$ Hz, comparer avec la valeur trouvée expérimentalement.

Réponses

1. Les courbes $U = f(I)$ :

2. L'impédance $Z$ représente le pente (coefficient directeur) des courbes, c'est à dire : $U = Z \cdot I$ donc : $Z = \frac{U}{I} = \frac{U_m}{I_m}$

L'unité de l'impédance $Z$ est : Ohm ($\Omega$)

⋆ Pour $N_1$ : $Z_1 = \frac{15}{0,20} = 75$ $\Omega$

⋆ Pour $N_2$ : $Z_2 = \frac{20}{0,60} = 33,3$ $\Omega$

$\Rightarrow$ L'impédance $Z$ dépend de la fréquence de l'excitation.

3. Calcul de $Z$ à partir de la formule théorique : $Z = 78$ $\Omega$
$\Rightarrow$ La valeur obtenue expérimentalement est voisine de la valeur théorique.

3.1 Équation différentielle du circuit

On considère le circuit RLC suivant :

On prend la phase du courant $i(t)$ comme origine des phases $(\varphi_i = 0)$ :
$i(t) = I_m \cdot \cos(\omega \cdot t)$

La tension aux bornes du circuit RLC est : $u(t) = U_m \cdot \cos(\omega \cdot t + \varphi)$ tel que $\varphi$ est la phase de $u(t)$ par rapport à $i(t)$.

Loi d'additivité des tensions : $u = u_R + u_L + u_C$

On a : $u_R = R \cdot i$ et $u_L = L \cdot \frac{di}{dt}$ (résistance négligeable de la bobine)

$u_C = \frac{q}{C}$ et puisque $i = \frac{dq}{dt}$ donc $q(t)$ est la primitive de l'intensité de courant $i(t)$ et qui s'annule à $t = 0$ : $q = \int_0^t i \cdot dt$ et puis $u_C = \frac{1}{C} \int_0^t i \cdot dt$

$u = R \cdot i(t) + L \cdot \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} \int_0^t i(t) \cdot dt$

Et puisque $i(t) = I_m \cdot \cos(\omega \cdot t)$ donc :

$u = R \cdot I_m \cdot \cos(\omega \cdot t) - L \cdot I_m \cdot \omega \cdot \sin(\omega \cdot t) + \frac{I_m}{C \cdot \omega} \sin(\omega \cdot t)$

On sait que : $\sin(\omega \cdot t) = \cos\left(\omega \cdot t - \frac{\pi}{2}\right)$ et $-\sin(\omega \cdot t) = \cos\left(\omega \cdot t + \frac{\pi}{2}\right)$

$u = R \cdot I_m \cdot \cos(\omega t) + L \cdot I_m \cdot \omega \cdot \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right) - \frac{I_m}{C \cdot \omega} \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)$

3.2 Solution de l'équation différentielle - Construction de Fresnel

3.2.1 Vecteur Fresnel

Dans un repère orthonormé, on associe une fonction sinusoïdale $y = a \cdot \cos(\omega t + \varphi)$ à un vecteur $\vec{OM}$ appelée vecteur de Fresnel qu'on représente souvent à l'instant $t = 0$, tel que :

• $O$ est l'origine du repère.
• Sa norme représente l'amplitude de la fonction sinusoïdale : $||\vec{OM}|| = a$.
• L'angle que fait le vecteur $\vec{OM}$ avec l'axe $(O, \vec{i})$ est : $\varphi = (\vec{OM}, \vec{Oi})$

3.2.2 Construction Fresnel

Pour effectuer la somme des fonctions sinusoïdales ayant la même pulsation $\omega$, on construit la somme des vecteurs $\vec{v_1}$, $\vec{v_2}$ et $\vec{v_3}$ tels que :

• On associe à $\vec{v_1}$ la grandeur $R \cdot I_m \cdot \cos(\omega t)$ avec :
  $\begin{cases} ||\vec{v_1}|| = R \cdot I_m \\ (\vec{v_1}, \vec{Oi}) = 0 \end{cases}$
• On associe à $\vec{v_2}$ la grandeur $L \cdot \omega \cdot I_m \cdot \cos\left(\omega t + \frac{\pi}{2}\right)$ avec :
  $\begin{cases} ||\vec{v_2}|| = L \cdot \omega \cdot I_m \\ (\vec{v_2}, \vec{Oi}) = +\frac{\pi}{2} \end{cases}$
• On associe à $\vec{v_3}$ la grandeur $\frac{I_m}{C \cdot \omega} \cdot \cos\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)$ avec :
  $\begin{cases} ||\vec{v_3}|| = \frac{I_m}{C \cdot \omega} \\ (\vec{v_3}, \vec{Oi}) = -\frac{\pi}{2} \end{cases}$
• On associe à $\vec{v}$ la grandeur $u = U_m \cdot \cos(\omega t + \varphi)$ avec : $\vec{v} = \vec{v_1} + \vec{v_2} + \vec{v_3}$

D'après la construction de Fresnel et le théorème de Pythagore, on peut écrire : $v^2 = v_1^2 + (v_2 - v_3)^2$ c'est à dire :

$U_m^2 = \left(R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2\right) \cdot I_m^2$

L'impédance $Z$ du circuit RLC :
On a : $Z = \frac{U_m}{I_m}$ c'est à dire :

La phase de la tension par rapport au courant vérifie les deux conditions :

• $\tan \varphi = \frac{v_2 - v_3}{v_1}$ c'est à dire :

• $\cos \varphi = \frac{v_1}{v} = \frac{R \cdot I_m}{U_m} = \frac{R \cdot I_m}{Z \cdot I_m}$ c'est à dire :

$\Rightarrow$ Les expressions de $Z$ et $\varphi$ dépendent de la pulsation $\omega$ (de la fréquence).

4.1 Activité

On réalise le circuit électrique ci-contre tel que le GBF délivre une tension sinusoïdale variable de valeur efficace $U$ et de fréquence $N$ réglables.

Le coefficient d'auto inductance de la bobine vaut $L = 0,95$ H et de résistance $r$ faible.
On règle la tension efficace à la valeur $U = 2$ V et la résistance totale $r + r'$ à la valeur $R_1 = r + r' = 40$ $\Omega$
On varie la fréquence $N$ du GBF et on mesure à chaque fois l'intensité efficace de courant.
On règle maintenant la résistance totale $R$ du circuit à la valeur $R_2 = 100$ $\Omega$ en variant la résistance $r'$ du conducteur ohmique, puis on refait les mêmes mesures.
On transmet les résultats dans le tableau suivant :

⋆ On rappelle que la fréquence propre du circuit RLC série s'écrit : $N_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$

1. Représenter, dans le même graphique, les courbes donnant la variation de $I$ en fonction de $N$ pour les deux valeurs de la résistance totale $R$ du circuit.
2. Lorsque la fréquence $N$ prend la valeur de la fréquence propre $N_0$ de l'excitateur, l'intensité efficace du courant devient maximale, Le circuit RLC dans ce cas est dit en état de résonance.
3. 2.1 Déterminer pour chaque courbe : la fréquence $N_0$ de résonance et l'intensité efficace $I_0$ à la résonance.
4. 2.2 Calculer $Z_1$ l'impédance du circuit à la résonance, la comparer avec la résistance totale $R_1$ du circuit.
5. La bande passante à $-3$ dB (-3 décibel) d'un circuit RLC est l'intervalle de fréquence $[N_1,N_2]$ du générateur telle que l'intensité efficace $I$ du courant vérifie la relation $I \geq \frac{I_0}{\sqrt{2}}$.
6. 3.1 Déterminer $N_1$ et $N_2$ pour la courbe correspondante à $R_1$.
7. 3.2 Calculer la largeur $\Delta N = N_2 - N_1$ de la bande passante puis comparer avec la valeur théorique $\Delta N = \frac{R_1}{2\pi \cdot L}$.
8. 3.3 Comment varie la largeur de la bande passante avec la résistance totale ?
9. On règle la fréquence de l'excitateur (générateur) à la valeur $N_0$.
10. 4.1 Comment doit-on brancher l'oscilloscope pour visualiser les tensions $u(t)$ et $u_R(t)$ ?
11. 4.2 Les tensions $u(t)$ et $u_R(t)$ sont-elles en phase ? Justifier.

Réponses

1. Les courbes $I = f(N)$ :

2. 2.1 Fréquence $N_0$ et intensité efficace $I_0$ à la résonance.
⋆ Pour $R_1$ : $N_0 = 162$ Hz et Pour $R_2$ : $N_0 = 162$ Hz
⋆ Pour $R_1$ : $I_0 = 26,25$ mA et Pour $R_2$ : $I_0 = 15$ mA

2.2 Impédance $Z_1$ à la résonance :
$Z_1 = \frac{U_m}{I_m} = \sqrt{R_1^2 + \left(L \cdot 2\pi \cdot N_0 - \frac{1}{C \cdot 2\pi \cdot N_0}\right)^2} = R_1$
$\Rightarrow$ à la résonance, le circuit RLC se comporte comme un conducteur ohmique.

3. Bande passe à $-3$ dB.
3.1 Les valeurs de $N_1$ et $N_2$ pour la courbe correspondante à $R_1$ :
$N_1 = 158$ Hz et $N_2 = 166$ Hz.

3.2 Largeur de la bande passante : $\Delta N = N_2 - N_1 = 166 - 158 = 8$ Hz
On a : $\Delta N = \frac{R_1}{2\pi \cdot L} = 6,7$ Hz $\Rightarrow$ Les deux valeurs sont voisines.

3.3 La largeur de la bande passante rétrécit lorsque la résistance à la résonance est faible.

4. Fréquence de l'excitateur est réglée à $N_0$
4.1 $u(t)$ : Entrée Y1 et $u_R(t)$ : Entrée Y2.

4.2 à la résonance, les tensions $u(t)$ et $u_R(t)$ sont en phase, car $Z = R$ c'est à dire $L\omega - \frac{1}{C\omega} = 0$

4.2 Étude théorique du résonance

4.2.1 Fréquence de la résonance

On a : $I = \frac{U}{Z} = \frac{U}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega_0 - \frac{1}{C\omega_0}\right)^2}}$, à la résonance, l'intensité de courant est maximale lorsque $Z$ est minimale.

$Z$ est minimale pour $L\omega - \frac{1}{C\omega} = 0$ c'est à dire $\omega = \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$

$\Rightarrow$ La fréquence de la résonance est égale à la fréquence propre $N_0$ du circuit RLC.

4.2.2 Impédance du circuit à la résonance

à la résonance, on a : $L\omega = \frac{1}{C\omega}$ donc : $Z = R$

$\Rightarrow$ L'impédance du circuit RLC à la résonance est minimale et égale à la résistance du circuit.

L'intensité efficace du courant à la résonance : $I_0 = \frac{U}{R}$

4.2.3 Phase de la tension par rapport au courant à la résonance

On a vu précédemment : $\tan \varphi = \frac{L\omega - \frac{1}{C\omega}}{R}$

à la résonance : $L\omega = \frac{1}{C\omega}$ c'est à dire $\tan \varphi = 0$ donc : $\varphi = 0$

$\Rightarrow$ à la résonance, la tension $u(t)$ et l'intensité $i(t)$ sont en phase.

4.2.4 Bande passante à -3dB

⋆ Détermination de la largeur de la bande passante.
Pour déterminer les valeurs extrémales des fréquences de la bande passante, on écrit : $I = \frac{I_0}{\sqrt{2}}$ c'est à dire

$\frac{U}{\sqrt{R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2}} = \frac{U}{\sqrt{2}R}$

donc : $2R^2 = R^2 + \left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right)^2$

$\Rightarrow L\omega - \frac{1}{C\omega} = \pm R$, soit en multipliant par $\omega$ :

$L\omega^2 \pm R\omega - \frac{1}{C} = 0$

L'équation admet 4 solutions dont deux positives :

$\omega_1 = \frac{-R + \sqrt{R^2 + 4\frac{L}{C}}}{2L}$ et $\omega_2 = \frac{R + \sqrt{R^2 + 4\frac{L}{C}}}{2L}$

La largeur $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1$ de la bande passante :

$\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = \frac{R}{L}$

et puisque $\Delta N = \frac{\Delta\omega}{2\pi}$, on a :

$\Rightarrow$ La largeur de la bande passante est proportionnelle à la résistance $R$ du circuit. Plus $R$ est petit, plus la résonance est aiguë et la largeur $\Delta N$ est faible. Le circuit est dit sélectif.

4.2.5 Facteur de qualité

On définit le facteur de qualité $Q$ par la relation :

avec $\omega_0$ pulsation propre du circuit RLC.

Et puisque $\Delta\omega = \frac{R}{L}$, on aura :

$\Rightarrow$ Plus la résonance est aigue, plus $Q$ est importante.
$Q$ est sans unité.

5.1 Puissance instantanée

On considère un dipôle $AB$ parcouru par un courant électrique instantané $i(t) = I \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\omega t)$ et soumis à une tension instantanée $u(t) = U \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\omega t + \varphi)$

La puissance électrique intantanée échangée par ce dipôle est :

$P(t) = u(t) \cdot i(t) = 2UI \cos(\omega t + \varphi) \cdot \cos(\omega t)$

Donc : $P(t) = u(t) \cdot i(t) = UI[\cos \varphi + \cos(2\omega t + \varphi)]$

$\Rightarrow$ La puissance instantanée est une fonction sinusoïdale de pulsation $2\omega$ et de période $\frac{T}{2}$ et $T$ la période de $u(t)$ et $i(t)$.

5.2 Puissance moyenne

La puissance moyenne est la somme des puissances instantanées consommées par le dipôle pendant une seule période $T$ :

$P = \frac{1}{T} \int_0^T P(t) \cdot dt = \frac{1}{T} \int_0^T UI[\cos \varphi + \cos(2\omega t + \varphi)] dt$

$P = \frac{UI}{T}\left[\cos \varphi \cdot T + \left[\frac{1}{2\omega} \sin(2\omega t + \varphi)\right]_0^T\right]$

$P = UI \cos \varphi + \frac{UI}{T} \cdot \frac{1}{2\omega}(\sin(2\omega T + \varphi) - \sin \varphi)$

On a : $\omega = \frac{2\pi}{T}$ donc : $\sin(2\omega t + \varphi) = \sin(4\pi + \varphi) = \sin \varphi$, finalement :

Le coefficient $\cos \varphi$ est appelé facteur de puissance.