dipole RC
1.1 Définition et symbole
Le condensateur est un dipôle constitué de deux conducteurs appelés armatures séparés par un matériau isolant appelé diélectrique.
Le symbole du condensateur :
⋆ Le condensateur est un dipôle capable d'emmagasiner une quantité d'électricité et la restituer au besoin.
1.2 Charge du condensateur
Lorsqu'on charge un condensateur, une armature capte des électrons tandis que l'autre armature perd des électrons.
La charge d'un condensateur ou la quantité d'électricité emmagasinée dans un condensateur est la charge de l'armature positive du condensateur, de symbole $Q$, elle est exprimée en Coulomb (C) : $Q = q_A = -q_B$
Remarque : le sens du courant $i$ est opposé à celui des électrons.
1.3 Relation entre l'intensité de courant et la charge du condensateur
L'intensité de courant électrique représente le débit des charges électriques, c'est à dire la quantité d'électricité reçue par l'armature, par unité de temps.
- $i$ : intensité de courant (A).
- $q$ : charge du condensateur $(q = q_A)$ (C).
- $dt$ : durée (s).
Remarque : Pour une intensité de courant constante, la relation devient $I = \frac{Q}{\Delta t}$.
1.4 Relation entre la charge du condensateur et la tension à ses bornes (Activité)
On réalise le montage suivant composé d'un générateur de courant idéal et un condensateur de charge $q$ reliés en série. Le générateur de courant délivre un courant d'intensité $I_0 = 1$ mA.
On ferme l'interrupteur $K$, et on suit l'évolution de la tension $u_C$ aux bornes du condensateur en fonction du temps.
La courbe suivante donne la variation de $u_C$ en fonction de $t$.
Le condensateur porte les informations suivantes : (1000 $\mu$F , 100V).
- Écrire l'équation de la courbe $u_C = f(t)$.
- Puisque $I_0$ est constante, écrire l'expression de la charge $q$ en fonction de $I_0$ et $t$.
- Exprimer la charge $q$ en fonction de la tension $u_C$.
Réponses
- La courbe obtenue passe par l'origine, il s'agit d'une fonction linéaire qui s'écrit : $u_C = k \cdot t$
2. Expression de la charge $q$ du condensateur :
On a $I_0 = \text{cte}$ donc : $q = I_0 \cdot t$
3. Expression de la charge $q$ du condensateur en fonction de $u_C$ :
D'après la question 2, on a : $t = \frac{q}{I_0}$ qu'on remplace dans l'expression de la question 1, on aura : $u_C = k \cdot \frac{q}{I_0}$
C'est à dire : $q = \frac{I_0}{k} \cdot u_C$ On pose : $C = \frac{I_0}{k}$ et on écrit : $q = C \cdot u_C$
On appelle $C$ capacité du condensateur, son unité est : Farad de symbole : F.
Sa valeur : $k = \frac{\Delta u_C}{\Delta t} = \frac{40 - 0}{40 - 0} = 1$ V.s$^{-1}$ donc : $C = \frac{I_0}{k} = \frac{10^{-3}}{1} = 10^{-3}$ F
Conclusion
La charge aux bornes d'un condensateur est proportionnelle à la tension $u_C$ à ses bornes :
- $q$ : charge du condensateur (C).
- $C$ : Capacité du condensateur (F).
- $u_C$ : tension aux bornes du condensateur (V).
2.1 Association en série
Les deux condensateurs sont parcourus par le même courant, donc les charges des condensateurs sont identiques $q_1 = q_2$.
D'après la loi d'additivité des tensions : $u_{AB} = u_{AD} + u_{DB}$
avec : $u_{AD} = \frac{q_1}{C_1}$ et $u_{DB} = \frac{q_2}{C_2}$ et $u_{AB} = \frac{q}{C}$ et $q = q_1 = q_2$
On écrit : $u_{AB} = \frac{q_1}{C_1} + \frac{q_2}{C_2} = q \cdot \left(\frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}\right) = \frac{q}{C}$
Ainsi : $\frac{1}{C} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$ ou $C = \frac{C_1 \cdot C_2}{C_1 + C_2}$
En général, pour un ensemble condensateurs reliés en série : $\frac{1}{C} = \sum \frac{1}{C_i} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + ... + \frac{1}{C_n}$
Remarque : L'association en série des condensateurs permet d'avoir une petite capacité avec la possibilité d'appliquer une haute tension que ne peut supporter chaque condensateur tout seul.
2.2 Association en parallèle
D'après la loi des noeuds : $i = i_1 + i_2$ c'est à dire $\frac{q}{t} = \frac{q_1}{t} + \frac{q_2}{t}$ donc : $q = q_1 + q_2$
Puisque : $q_1 = C_1 \cdot u_{AB}$ et $q_2 = C_2 \cdot u_{AB}$ et $q = C \cdot u_{AB}$
Donc : $C \cdot u_{AB} = C_1 \cdot u_{AB} + C_2 \cdot u_{AB} = (C_1 + C_2) \cdot u_{AB}$
Et puis : $C = C_1 + C_2$
En général, pour un ensemble condensateurs reliés en parallèle : $C = \sum C_i = C_1 + C_2 + ... + C_n$
Remarque : L'association en parallèle des condensateurs permet d'avoir une grande capacité avec la possibilité d'appliquer une tension faible.
Application
Exprimer la capacité $C_{AB}$ entre les points $A$ et $B$ dans le montage suivant, puis calculer sa valeur :
Réponse
$C_{AB} = \frac{C_1 \cdot (C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3}$
AN : $C_{AB} = 8,3$ $\mu$F
3.1 Définitions
⋆ Un dipôle RC est l'association en série d'un condensateur de capacité $C$ et d'un conducteur ohmique de résistance $R$.
3.2 Réponse du circuit RC à un échelon de tension
On réalise le montage ci-contre, tel que le condensateur est initialement déchargé.
On prend : $R = 2$ k$\Omega$ , $C = 100$ $\mu$F et $E = 6$ V
à l'instant $t = 0$, On met l'interrupteur à la position ①, on visualise la tension $u_C$ aux bornes du condensateur en fonction du temps.
$\Rightarrow$ Le condensateur commence à se charger.
On bascule l'interrupteur $K$ vers la position ②, et on visualise l'évolution de la tension $u_C$ en fonction du temps.
$\Rightarrow$ Le condensateur commence à se décharger.
Remarques
- La tension $u_C(t)$ est une fonction continue.
- La tension $u_C(t)$ aux bornes du condensateur augmente au cours de la charge et diminue lors de la décharge.
- Régime transitoire : la tension $u_C(t)$ augmente ou diminue.
- Régime permanent : la tension $u_C(t)$ reste constante et vaut $u_C = E$.
3.3 Étude théorique de la charge d'un condensateur
3.3.1 Équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$
On considère le circuit électrique ci-contre, tel que le condensateur est initialement déchargé c'est à dire $u_C(t = 0) = 0$.
à l'instant $t = 0$, on ferme l'interrupteur $K$.
On applique la loi d'additivité des tensions : $u_R + u_C = E$
D'après la loi d'ohm : $u_R = R \cdot i$
On a : $i = \frac{dq}{dt}$ et $q = C \cdot u_C$ donc : $i = C \cdot \frac{du_C}{dt}$
c'est à dire $u_R = RC \cdot \frac{du_C}{dt}$
$RC \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = E$, on pose : $\tau = RC$
Enfin : $\tau \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = E$
Remarque : On peut exprimer l'équation différentielle en fonction de la charge $q$ du condensateur, en effet :
On a : $q = C \cdot u_C$ c-à-d $u_C = \frac{q}{C}$ et $u_R = Ri = R \cdot \frac{dq}{dt}$
On remplace dans l'équation différentielle précédente : $R \cdot \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = E$ ou $RC \frac{dq}{dt} + q = CE$
3.3.2 Solution de l'équation différentielle
La solution de l'équation différentielle $\tau \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = E$ s'écrit sous la forme : $u_C = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t}$ telle que : $A$, $B$ et $\alpha$ sont des constantes.
♠ Détermination des constantes $A$ et $\alpha$.
On a : $u_C = A + Be^{-\alpha \cdot t}$ donc $\frac{du_C}{dt} = 0 - B \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t} = -B \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t}$
On remplace dans l'équation différentielle : $-\tau \cdot B \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t} + A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t} = E$ c'est à dire $B \cdot e^{-\alpha \cdot t}(1 - \tau \cdot \alpha) = E - A$
Pour que l'équation soit vérifiée pour tout $t$, il faut que : $1 - \tau \cdot \alpha = 0$ et $E - A = 0$
Donc : $\alpha = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{RC}$ et $A = E$
♠ Détermination de $B$ à partir des conditions initiales.
à l'instant $t = 0$, on a $u_C = 0$ car le condensateur est déchargé initialement.
On remplace dans la solution de l'équation différentielle à $t = 0$ :
$0 = A + B \cdot e^0 \Rightarrow B = -A$ et puisque $A = E$ donc : $B = -E$
Finalement : L'expression de la tension aux bornes du condensateur pendant la charge est :
⋆ Expression de la solution de l'équation différentielle vérifiée par la charge $q$ :
$q = CE \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
La courbe suivante représente la variation de la charge en fonction du temps :
⋆ L'expression de l'intensité de courant dans le circuit est :
On a : $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt} = \frac{C \cdot E}{\tau} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
La courbe suivante représente la variation du courant électrique en fonction du temps :
3.4 Décharge d'un condensateur (Étude théorique)
3.4.1 Équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$
On considère le circuit ci-contre, tel que le condensateur est initialement chargé : $u_C(t = 0) = E$.
à l'instant $t = 0$, on bascule l'interrupteur $K$ vers la position ②
On a : $u_R + u_C = 0$ et $u_R = R \cdot i$
On a : $i = \frac{dq}{dt}$ et $q = C \cdot u_C$ donc : $i = C \cdot \frac{du_C}{dt}$
c'est à dire $u_R = RC \cdot \frac{du_C}{dt}$
$RC \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$, on pose : $\tau = RC$
Enfin : $\tau \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$
3.4.2 Solution de l'équation différentielle
La solution de l'équation différentielle $\tau \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$ s'écrit sous la forme : $u_C = A \cdot e^{-m \cdot t}$ telle que : $A$ et $m$ sont des constantes.
♠ Détermination de $m$.
On a : $u_C = A \cdot e^{-mt}$ donc $\frac{du_C}{dt} = -A \cdot m \cdot e^{-mt}$
On remplace dans l'équation différentielle : $-\tau \cdot A \cdot m \cdot e^{-mt} + A \cdot e^{-mt} = 0$ c'est à dire : $1 - m \cdot \tau = 0$
Ainsi : $m = \frac{1}{\tau} = \frac{1}{RC}$
♠ Détermination de $A$ à partir des conditions initiales.
à l'instant $t = 0$, on a $u_C = E$ (condensateur initialement chargé)
On remplace dans la solution de l'équation différentielle à $t = 0$ : $u_C = A \cdot e^0$ c'est à dire : $A = E$.
Finalement : L'expression de la tension aux bornes du condensateur pendant la décharge est :
Remarques
- La tension $u_C(t)$ et la charge $q(t)$ sont des fonctions continues : $\forall t : u_C(t^-) = u_C(t^+)$
- L'intensité de courant $i(t)$ est une fonction discontinue (ex. pendant le charge) : $i(0^-) = 0$ et $i(0^+) = \frac{E}{R}$
⋆ On a $q = C \cdot u_C$ donc : $q(t) = C \cdot E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ ou :
$q(t) = Q_{max} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$ telle que $Q_{max} = C \cdot E$ : charge maximale.
La courbe suivante représente la variation de la charge en fonction du temps :
⋆ L'expression de l'intensité de courant dans le circuit est :
On a : $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt} = -\frac{C \cdot E}{\tau} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
La courbe suivante représente la variation du courant électrique en fonction du temps :
En résumé :
3.5 Constante de temps $\tau$
⋆ La constante de temps $\tau$ du dipôle RC vaut : $\tau = RC$
3.5.1 Équation des dimensions pour la constante de temps $\tau$
Loi d'ohm : $u = R \cdot i$ : $[R] = \frac{[u]}{[i]}$
Pour le condensateur : $i = C \cdot \frac{du}{dt}$ : $[C] = \frac{[i] \cdot [t]}{[u]}$
Donc : $[R] \cdot [C] = \frac{[u]}{[i]} \cdot \frac{[i] \cdot [t]}{[u]}$ c'est à dire : $[R] \cdot [C] = [t] = T$
♠ La constante $\tau$ a la dimension d'un temps, c'est pour cela elle est appelée constante de temps. Elle est exprimée en secondes (s).
3.5.2 Détermination de la constante de temps $\tau$
• Pendant la charge : $u_C(t) = E \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$
⋆ Méthode 1 : à l'instant $t = \tau$, on a :
$u(\tau) = E \cdot (1 - e^{-1}) = 0,63 \times E$
$\rightarrow \tau$ est l'abscisse correspondant à l'ordonnée $0,63 \cdot E$.
⋆ Méthode 2 : $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point $t = 0$ et l'asymptote $u_C = E$.
• Pendant la décharge : $u_C(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$
⋆ Méthode 1 : à l'instant $t = \tau$, on a :
$u(\tau) = E \cdot e^{-1} = 0,37 \times E$
$\rightarrow \tau$ est l'abscisse correspondant à l'ordonnée $0,37 \cdot E$.
⋆ Méthode 2 : $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point $t = 0$ et l'axe des abscisses.
4.1 Mise en évidence expérimentale
On réalise le circuit électrique ci-contre :
- Lorsque l'interrupteur $K$ est la position ①, le condensateur se charge et emmagasine de l'énergie électrique.
- Lorsqu'on bascule l'interrupteur $K$ à la position ②, le condensateur alimente la lampe $L$ qui s'allume.
Remarque : L'énergie emmagasinée dans le condensateur augmente lorsque sa capacité $C$ augmente. Elle augmente également lorsque la f.e.m $E$ augmente.
4.2 Expression de l'énergie électrique emmagasinée $E_e$ dans le condensateur
La puissance électrique fournie au condensateur est : $P = u_C \cdot i$
Puisque : $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$ donc : $P = C \cdot u_C \cdot \frac{du_C}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} \cdot C \cdot u_C^2\right)$
Et puisque : $P = \frac{dE_e}{dt}$, donc l'énergie électrique emmagasinée dans le condensateur est :
Remarque :
Sachant que : $q = C \cdot u_C$, on peut écrire : $E_e = \frac{1}{2} \cdot q \cdot u_C$ ou $E_e = \frac{1}{2} \cdot \frac{q^2}{C}$