limites

Absolument ! Voici une réécriture de la leçon sur les limites et la continuité, conçue pour être plus ergonomique et faciliter la compréhension :

I) LIMITE D’UNE FONCTION

Concept Clé : La limite d’une fonction en un point décrit le comportement de la fonction à proximité de ce point, sans nécessairement atteindre la valeur au point même.

1. Définition Intuitive : Lorsque l’on dit que $\lim_{x \to a} f(x) = l$, cela signifie que les valeurs de $f(x)$ se rapprochent de plus en plus de la valeur $l$ à mesure que $x$ se rapproche de la valeur $a$.
2. Définition Formelle (avec $\epsilon$ et $\delta$) : On dit que $\lim_{x \to a} f(x) = l$ si et seulement si : Pour tout $\epsilon > 0$ (aussi petit soit-il), il existe un $\delta > 0$ (qui dépend de $\epsilon$) tel que pour tout $x$ dans le domaine de $f$, si $0 < |x – a| < \delta$, alors $|f(x) – l| < \epsilon$.
3. Opérations sur les Limites : Soient $\lim_{x \to a} f(x) = l$ et $\lim_{x \to a} g(x) = l’$ (où $l$ et $l’$ sont des nombres réels finis). Alors :
   • Limite d’une somme : $\lim_{x \to a} (f(x) + g(x)) = l + l’$
   • Limite d’un produit : $\lim_{x \to a} (f(x) \times g(x)) = l \times l’$
   • Limite d’un quotient : $\lim_{x \to a} \left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{l}{l’}$ (si $l’ \neq 0$)
   • Limite d’une valeur absolue : $\lim_{x \to a} |f(x)| = |l|$
   • Limite de l’inverse : $\lim_{x \to a} \left(\frac{1}{f(x)}\right) = \frac{1}{l}$ (si $l \neq 0$)
   • Limite d’une racine carrée : $\lim_{x \to a} \sqrt{f(x)} = \sqrt{l}$ (si $l > 0$)
   Attention aux Formes Indéterminées : Lorsque l’on a des expressions comme $\infty – \infty$, $0 \times \infty$, $\frac{0}{0}$, $\frac{\infty}{\infty}$, $1^\infty$, $0^0$, $\infty^0$, on ne peut pas conclure directement. Des techniques de calcul supplémentaires sont nécessaires (factorisation, utilisation de l’expression conjuguée, etc.). Exemples de Formes Indéterminées :
   • $\lim_{x \to +\infty} (2 + x^2) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (5 – x^2) = -\infty$, mais $\lim_{x \to +\infty} ((2 + x^2) + (5 – x^2)) = 7$.
   • $\lim_{x \to +\infty} (2 + x^2) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} (5 – x) = -\infty$, mais $\lim_{x \to +\infty} ((2 + x^2) + (5 – x)) = +\infty$.
4. Limites Unilatérales :
   • Limite à droite ($\lim_{x \to a^+}$) : On considère les valeurs de $x$ qui s’approchent de $a$ en étant strictement supérieures à $a$.
   • Limite à gauche ($\lim_{x \to a^-}$) : On considère les valeurs de $x$ qui s’approchent de $a$ en étant strictement inférieures à $a$.
   Condition d’Existence de la Limite : La limite $\lim_{x \to a} f(x)$ existe et est égale à $l$ si et seulement si $\lim_{x \to a^+} f(x) = l$ et $\lim_{x \to a^-} f(x) = l$.

II) CONTINUITE D’UNE FONCTION EN UN POINT

Concept Clé : Une fonction est continue en un point si sa courbe ne présente pas de “rupture” ou de “saut” en ce point.

1. Définition de la Continuité en un Point : Une fonction $f$ est continue en un point $a$ si et seulement si :
   • $f(a)$ est définie (le point $a$ appartient au domaine de $f$).
   • La limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ existe et est finie ($\lim_{x \to a} f(x) = l$, où $l \in \mathbb{R}$).
   • Cette limite est égale à la valeur de la fonction en $a$ : $\lim_{x \to a} f(x) = f(a)$.
2. Définition Formelle de la Continuité (avec $\epsilon$ et $\delta$) : Une fonction $f$ est continue en $a$ si pour tout $\epsilon > 0$, il existe un $\delta > 0$ tel que pour tout $x$ dans le domaine de $f$, si $|x – a| < \delta$, alors $|f(x) – f(a)| < \epsilon$. (Notez la différence avec la définition de la limite où $0 < |x – a| < \delta$).
3. Interprétations Graphiques :
   • Si une fonction n’est pas définie en $a$, elle n’est pas continue en $a$.
   • Si la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ n’existe pas, alors $f$ n’est pas continue en $a$. Cela peut se produire si les limites à gauche et à droite sont différentes.
   • Même si la limite existe, si $\lim_{x \to a} f(x) \neq f(a)$, alors $f$ n’est pas continue en $a$.

III) CONTINUITE A DROITE ET CONTINUITE A GAUCHE

Concept Clé : Extension de la notion de continuité en considérant uniquement l’approche par valeurs supérieures ou inférieures.

1. Continuité à Droite : Une fonction $f$ est continue à droite en $a$ si :
   • $f(a)$ est définie.
   • La limite à droite en $a$ existe et est finie ($\lim_{x \to a^+} f(x) = l$).
   • $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$.
2. Continuité à Gauche : Une fonction $f$ est continue à gauche en $a$ si :
   • $f(a)$ est définie.
   • La limite à gauche en $a$ existe et est finie ($\lim_{x \to a^-} f(x) = l$).
   • $\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)$.
3. Théorème : Une fonction est continue en un point $a$ si et seulement si elle est continue à droite et à gauche de $a$.

IV) OPERATIONS SUR LES FONCTIONS CONTINUES

Concept Clé : La continuité est préservée par les opérations algébriques usuelles et la composition (voir section suivante).

1. Continuité sur un Intervalle :
   • $f$ est continue sur un intervalle ouvert $]a, b[$ si elle est continue en tout point de $]a, b[$.
   • $f$ est continue sur un intervalle semi-ouvert $[a, b[$ si elle est continue sur $]a, b[$ et continue à droite en $a$.
   • $f$ est continue sur un intervalle semi-ouvert $]a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$ et continue à gauche en $b$.
   • $f$ est continue sur un intervalle fermé $[a, b]$ si elle est continue sur $]a, b[$, continue à droite en $a$ et continue à gauche en $b$.
2. Propriétés des Fonctions Continues : Si $f$ et $g$ sont deux fonctions continues en $a$, alors :
   • $f + g$ est continue en $a$.
   • $f \times g$ est continue en $a$.
   • $|f|$ est continue en $a$.
   • $\frac{1}{g}$ est continue en $a$ si $g(a) \neq 0$.
   • $\frac{f}{g}$ est continue en $a$ si $g(a) \neq 0$.
   • $\sqrt{f}$ est continue en $a$ si $f(a) \geq 0$.
3. Continuité des Fonctions Usuelles :
   • Les fonctions polynômes sont continues sur $\mathbb{R}$.
   • Les fonctions rationnelles (quotient de deux polynômes) sont continues sur leur domaine de définition (c’est-à-dire partout où le dénominateur n’est pas nul).
   • Les fonctions sinus ($\sin$) et cosinus ($\cos$) sont continues sur $\mathbb{R}$.
   • La fonction tangente ($\tan$) est continue sur les intervalles de la forme $]-\frac{\pi}{2} + k\pi, \frac{\pi}{2} + k\pi[$ où $k \in \mathbb{Z}$.
   • La fonction racine $n$-ième ($\sqrt[n]{x}$) pour $n \in \mathbb{N}^*$ est continue sur $[0, +\infty[$ (et sur $\mathbb{R}$ si $n$ est impair).

V) THEOREME DES VALEURS INTERMEDIAIRE (TVI)

Concept Clé : Une fonction continue sur un intervalle fermé prend toutes les valeurs intermédiaires entre ses valeurs aux extrémités de l’intervalle.

1. Théorème Général : Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $[a, b]$. Pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$ (c’est-à-dire $f(a) \leq \lambda \leq f(b)$ ou $f(b) \leq \lambda \leq f(a)$), il existe au moins un réel $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$.
2. Cas d’une Fonction Strictement Monotone : Si $f$ est une fonction continue et strictement monotone (croissante ou décroissante) sur $[a, b]$, alors pour tout $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe un et un seul $c \in [a, b]$ tel que $f(c) = \lambda$. Dans ce cas, l’équation $f(x) = \lambda$ admet une solution unique dans $[a, b]$.
3. Corollaire Important (Recherche de Racines) : Soit $f$ une fonction continue sur $[a, b]$. Si $f(a) \times f(b) < 0$ (c’est-à-dire si $f(a)$ et $f(b)$ ont des signes opposés), alors il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = 0$. Si de plus $f$ est strictement monotone sur $[a, b]$, alors il existe une unique racine $c \in ]a, b[$ telle que $f(c) = 0$.
4. Image d’un Intervalle par une Fonction Continue : L’image d’un intervalle par une fonction continue est toujours un intervalle.
   • L’image d’un segment $[a, b]$ est un segment $[m, M]$ où $m = \min_{x \in [a, b]} f(x)$ et $M = \max_{x \in [a, b]} f(x)$.
   • Si $f$ est continue et croissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(a), f(b)]$.
   • Si $f$ est continue et décroissante sur $[a, b]$, alors $f([a, b]) = [f(b), f(a)]$.

VI) FONCTIONS COMPOSEES ET FONCTIONS RECIPROQUES

Concept Clé : Comment la continuité et la monotonie se comportent lors de la composition et de l’inversion de fonctions.

1. Composition de Deux Fonctions : La composée de deux fonctions $f$ et $g$, notée $g \circ f$, est définie par $(g \circ f)(x) = g(f(x))$. Le domaine de $g \circ f$ est l’ensemble des $x$ tels que $x$ appartient au domaine de $f$ et $f(x)$ appartient au domaine de $g$. Théorème sur la Continuité de la Composée :
   • Si $f$ est continue en $x_0$ et $g$ est continue en $f(x_0)$, alors $g \circ f$ est continue en $x_0$.
   • Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ et $g$ est continue sur $f(I)$, alors $g \circ f$ est continue sur $I$.
   Théorème sur la Limite de la Composée : Si $\lim_{x \to x_0} u(x) = l$ et si $v$ est continue en $l$, alors $\lim_{x \to x_0} (v \circ u)(x) = v(l)$.
2. Fonctions Réciproques : Une fonction $f$ admet une fonction réciproque $f^{-1}$ si et seulement si $f$ est bijective (c’est-à-dire injective et surjective). Si $f$ est continue et strictement monotone sur un intervalle $I$, alors elle est bijective de $I$ vers $J = f(I)$, et sa fonction réciproque $f^{-1}$ est définie de $J$ vers $I$. Propriétés de la Fonction Réciproque :
   • $(f^{-1} \circ f)(x) = x$ pour tout $x \in I$.
   • $(f \circ f^{-1})(x) = x$ pour tout $x \in J = f(I)$.
   • Si $f$ est continue et strictement monotone sur $I$, alors $f^{-1}$ est continue sur $J = f(I)$ et a la même monotonie que $f$.
   • Les courbes représentatives de $f$ et $f^{-1}$ sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$.
3. La Fonction Racine $n$-ième : Pour $n \in \mathbb{N}^*$, la fonction $u(x) = x^n$ est continue et strictement croissante sur $\mathbb{R}^+$ (et sur $\mathbb{R}$ si $n$ est impair). Sa fonction réciproque est la fonction racine $n$-ième, notée $\sqrt[n]{x}$ ou $x^{1/n}$. Propriétés de la Racine $n$-ième :
   • Définie sur $\mathbb{R}^+$ (et $\mathbb{R}$ si $n$ est impair).
   • $\sqrt[n]{x} \geq 0$ pour $x \geq 0$.
   • $(\sqrt[n]{x})^n = x$ pour $x \geq 0$.
   • $\sqrt[n]{x^n} = x$ pour $x \geq 0$.
   • Continue et strictement croissante sur son domaine de définition.
   • $\lim_{x \to +\infty} \sqrt[n]{x} = +\infty$.
   Règles de Calcul :
   • $\sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]{x} \sqrt[n]{y}$ pour $x, y \geq 0$.
   • $\sqrt[n]{\frac{x}{y}} = \frac{\sqrt[n]{x}}{\sqrt[n]{y}}$ pour $x \geq 0, y > 0$.
   • $\sqrt[m]{\sqrt[n]{x}} = \sqrt[mn]{x}$ pour $x \geq 0$.
   Résolution de $x^n = a$ :
   • Si $n$ est pair :
     • Si $a > 0$, $x = \pm \sqrt[n]{a}$.
     • Si $a = 0$, $x = 0$.
     • Si $a < 0$, pas de solution réelle.
   • Si $n$ est impair :
     • Si $a > 0$, $x = \sqrt[n]{a}$.
     • Si $a = 0$, $x = 0$.
     • Si $a < 0$, $x = -\sqrt[n]{-a}$.
4. Expression Conjuguée et Applications : Technique utilisée pour simplifier des expressions contenant des racines, souvent utile pour lever des formes indéterminées lors du calcul de limites.
   • Ordre 3 : $a^3 – b^3 = (a – b)(a^2 + ab + b^2)$ et $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 – ab + b^2)$.
     • $a – b = \frac{a^3 – b^3}{a^2 + ab + b^2}$
     • $a + b = \frac{a^3 + b^3}{a^2 – ab + b^2}$
     • $\sqrt{x} – \sqrt{y} = \frac{x – y}{\sqrt{x^2} + \sqrt{xy} + \sqrt{y^2}}$
     • $\sqrt{x} + \sqrt{y} = \frac{x + y}{\sqrt{x^2} – \sqrt{xy} + \sqrt{y^2}}$
   • Ordre 4 : $a^4 – b^4 = (a – b)(a^3 + a^2b + ab^2 + b^3)$.
     • $a – b = \frac{a^4 – b^4}{a^3 + a^2b + ab^2 + b^3}$
     • $\sqrt{x} – \sqrt{y} = \frac{x – y}{\sqrt{x^3} + \sqrt{x^2y} + \sqrt{xy^2} + \sqrt{y^3}}$
5. Puissance Rationnelle : Pour $x \geq 0$ et $r = \frac{p}{q} \in \mathbb{Q}$ avec $q \in \mathbb{N}^*$, on définit $x^r = x^{p/q} = (\sqrt[q]{x})^p = \sqrt[q]{x^p}$. Propriétés des Puissances Rationnelles (pour $x, y > 0$ et $r, r’ \in \mathbb{Q}$) :
   • $x^{r+r’} = x^r \times x^{r’}$
   • $x^{rr’} = (x^r)^{r’} = (x^{r’})^r$
   • $x^{-r} = \frac{1}{x^r}$
   • $\frac{x^r}{x^{r’}} = x^{r-r’}$
   • $(xy)^r = x^r y^r$
   • $(\frac{x}{y})^r = \frac{x^r}{y^r}$

J’espère que cette présentation plus structurée et avec des points clés mis en évidence vous sera plus utile pour la compréhension de cette leçon.