APPLICATIONS DES LOIS DE NEWTON
On appelle projectile chaque corps lancé au voisinage de la terre à une vitesse initiale $\vec{v_0}$. Pour simplifier l'étude,
on néglige tous les frottements et on considère que le projectile est soumis uniquement à son poids (chute libre).
à un instant choisi comme origine des dates, on lance, d'un point $O$, un corps solide $(S)$ de masse $m$ avec une
vitesse initiale $\vec{v_0}$, formant un angle $\alpha$ avec le plan horizontal. On considère le champ de pesanteur uniforme.
1.1 Mise en équations
système étudié $\{ \text{le corps } (S) \}$
L'inventaire des forces : ⋆ Le poids
$\vec{P} = m \cdot \vec{g}$
Le mouvement est étudié dans le repère $R (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ lié à la terre
considéré comme galiléen.
En appliquant la 2ème loi de Newton, on écrit : $m \cdot \vec{a} = \sum \vec{F}_{ext} \Rightarrow$
$m \cdot \vec{a}_G = \vec{P} = m \cdot \vec{g}$ d'où : $\vec{a}_G = \vec{g}$
La projection de l'équation vectorielle sur les axes du repère $R$
$(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ donne les équations différentielles du mouvement :
On en déduit que la direction du vecteur accélération $\vec{a}_G$ est verticale et que son sens est vers le bas et sa norme :
$a_G = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} = g$
1.2 Solutions des équations différentielles
Les conditions initiales à $t = 0$ :
$\overrightarrow{OG_0} \begin{cases} x_0 = 0 \\ y_0 = 0 \\ z_0 = 0 \end{cases}$
et $\vec{v}_{G_0} \begin{cases} v_{0x} = v_0 \cdot \cos \alpha \\ v_{0y} = 0 \\ v_{0z} = v_0 \cdot \sin \alpha \end{cases}$
On sait que $\vec{a}(t) = \frac{d\vec{v}}{dt}$, par intégration, on obtient :
$\vec{v}_G(t) \begin{cases} v_x(t) = C_1 = v_{0x} = v_0 \cdot \cos \alpha \\ v_y(t) = C_2 = 0 \\ v_z(t) = -gt + C_3 = -gt + v_{0z} = -gt + v_0 \cdot \sin \alpha \end{cases}$
Les équations horaires du vecteur vitesse.
On sait que $\vec{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{OG}}{dt}$, par intégration, on obtient :
$\overrightarrow{OG}(t) \begin{cases} x(t) = (v_0 \cdot \cos \alpha) \cdot t + C_4 = (v_0 \cdot \cos \alpha) \cdot t \\ y(t) = C_5 = y_0 = 0 \\ z(t) = -\frac{1}{2} \cdot gt^2 + (v_0 \cdot \sin \alpha) \cdot t + C_6 = -\frac{1}{2} \cdot gt^2 + (v_0 \cdot \sin \alpha) \cdot t \end{cases}$
Les équations horaires du vecteur position.
Remarques
- Puisque $y(t) = 0$ donc le mouvement est plan et il a lieu dans le plan verticale $(O, \vec{i}, \vec{k})$ ou bien $(G, \vec{v_0}, \vec{g})$.
- $x(t)$ est une fonction linéaire, donc, le mouvement est rectiligne uniforme sur l'axe $(O,x)$.
- $z(t)$ est une fonction du deuxième ordre, donc, le mouvement est uniformément variable le long de l'axe $(O,z)$.
1.3 Trajectoire du centre d'inertie G
1.3.1 Équation de la trajectoire
Puisque le mouvement se fait dans le plan $(Oxy)$, l'équation de la trajectoire est l'expression de $z$ en fonction de
$x$ en éliminant la variable temps.
On a : $x(t) = (v_0 \cdot \cos \alpha) \cdot t$ d'où : $t = \frac{x(t)}{v_0 \cdot \cos \alpha}$, On remplace dans l'expression de $z(t)$, on trouve :
$z(x) = -\frac{1}{2} \cdot g \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cdot \cos \alpha}\right)^2 + (v_0 \cdot \sin \alpha) \cdot \left(\frac{x}{v_0 \cdot \cos \alpha}\right)$
Finalement : $z(x) = -\frac{g}{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2 \alpha} \cdot x^2 + (\tan \alpha) \cdot x$
$\Rightarrow z(x)$ est une fonction du deuxième ordre, sa représentation est donc parabolique dans un plan du tir. Le
mouvement est donc parabolique.
1.3.2 Sommet ou flèche
Le sommet $F$ est l'altitude maximale atteinte par le centre d'inertie du
projectile.
Au point $F$ le vecteur vitesse $\vec{v}_F$ est horizontale, alors $v_z(t) = \frac{dz}{dt} = 0$.
D'où : $-g \cdot t_F + v_0 \cdot \sin \alpha = 0$ donc : $t_F = \frac{v_0 \cdot \sin \alpha}{g}$
On en déduit les coordonnées du sommet : $x_F = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{2g}$ et $z_F = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 \alpha}{2g}$
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
Remarque
Le sommet prend une valeur maximale lorsque le projectile est lancé verticalement vers le haut c'est-à-dire $\alpha = \frac{\pi}{2}$
1.3.3 Portée
La portée est la distance entre la position $G_0$ du centre d'inertie du
projectile à l'instant du lancement et la position $P$ du point $G$ lors de
la chute du projectile tel que $P$ appartient à l'axe horizontal passant
par $G_0$.
Donc $z_P = 0$ d'où :
$\left(-\frac{g}{2 \cdot v_0^2 \cdot \cos^2 \alpha} \cdot x_P + (\tan \alpha)\right) \cdot x_P = 0$
L'équation admet 2 solutions : $x_P = 0$ et $x_P = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{g}$
On remarque que : $x_P = 2 \cdot x_F$
Pour une valeur donnée de $v_0$, la portée est maximale lorsque $\sin 2\alpha = 1$ c'est-à-dire $\alpha = \frac{\pi}{4}$. Dans ce cas :
$x_{P_{max}} = \frac{v_0^2}{g}$
Conclusion
à partir des deux relations $z_F = \frac{v_0^2 \cdot \sin^2 \alpha}{2g}$ et $x_P = \frac{v_0^2 \cdot \sin 2\alpha}{g}$
• Pour la même valeur de $v_0$ et pour différentes valeurs de $\alpha$ :
• Pour la même valeur de $\alpha$ et pour différentes valeurs de $v_0$ :
2.1 Champ électrostatique
Un corps portant une charge électrique $Q$ situé en un point $O$, créé un champ
électrostatique $\vec{E}$ dans la partie d'espace qui l'entoure.
S'il se trouve, dans cet espace, un autre corps chargé, il va subir une force
électrostatique $\vec{F}$ telle que :
$\vec{F} = q \cdot \vec{E}(M)$
Avec :
$\vec{E}(M) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} \cdot \vec{u}$
2.2 Champ électrostatique uniforme
Définition
Un champ électrique est uniforme dans un domaine de l'espace si, en tout point de ce domaine, le vecteur
champ $\vec{E}$ conserve la même direction, le même sens et la même intensité.
⋆ Dans un domaine de l'espace où les lignes de champ électrostatique sont des
droites parallèles, le champ $\vec{E}$ est uniforme.
Le vecteur champ électrostatique en chaque point de l'espace existant entre les
deux plaques, a :
- même direction : orthogonal aux plaques.
- même sens : les lignes de champ s'orientent de la plaque $P$ vers la plaque $N$.
- même intensité : lignes de champ approchées = intensité importante
$E = \frac{V_P - V_N}{d} = \frac{U}{d}$
⋆ $U$ : tension appliquée aux bornes des électrodes $P$ et $N$.
⋆ $d$ : distance entre les deux électrodes $P$ et $N$.
2.3 Mouvement d'une particule chargée dans un champ électrostatique uniforme
On considère une particule chargée de masse $m$ et de charge $q < 0$, placée dans un champ électrostatique uniforme,
est soumise à une force électrostatique telle que $\vec{F} = q \cdot \vec{E}$, ainsi que son poids $\vec{P}$ dont l'intensité sera négligée
devant $F$.
En appliquant, dans un référentiel galiléen, la 2ème loi de Newton, on écrit : $m \cdot \vec{a} = \sum \vec{F}_{ext} \Rightarrow m \cdot \vec{a} = \vec{F}$
La trajectoire de la particule dépend de la direction de $\vec{v_0}$ la vitesse initiale de la particule à l'entrée à l'espace
où règne le champ électrostatique uniforme.
♠ $\vec{v_0}$ est parallèle à $\vec{E}$.
La particule chargée pénètre le champ électrostatique par le point $O$ à l'instant $t_0 = 0$ à la vitesse $\vec{v_0}$.
On a : $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{q \cdot \vec{E}}{m}$, en projetant la relation sur les axes du repère $R (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on obtient :
Le mouvement de la particule est rectiligne uniformément accéléré $(a = \text{cte})$ car $\vec{a} \cdot \vec{v} > 0$
Les électrons rentrent dans le champ électrostatique à une vitesse presque nulle et sortent à une grande vitesse.
Pour étudier l'influence de $E$ sur la valeur de $v$, on applique le théorème de l'énergie cinétique entre les électrodes :
$\Delta E_c = W(\vec{F}) \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot m \cdot v^2 = e \cdot U_{AC}$ telle que $U_{AC}$ est la tension aux bornes des électrodes $U_{AC} = V_A - V_C = E \cdot d$
Enfin : $v = \sqrt{\frac{2 \cdot e \cdot E \cdot d}{m}}$
$d$ : distance entre les électrodes.
⋆ On constate que la vitesse $v$ augmente lorsque $E$ augmente. Le champ électrostatique se comporte comme accélérateur
de particules.
♠ $\vec{v_0}$ est perpendiculaire à $\vec{E}$.
La particule chargée pénètre le champ électrostatique par le point $O$ à l'instant $t_0 = 0$ à la vitesse $\vec{v_0}$ telle
que $\vec{v_0} = v_0 \cdot \vec{i}$ et $\vec{E} = -E \cdot \vec{j}$.
On a : $\vec{a} = \frac{q \cdot \vec{E}}{m}$, en projetant la relation sur les axes du repère $R (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on obtient :
⋆ Le mouvement est rectiligne uniforme selon l'axe $(O, \vec{i})$.
⋆ Le mouvement est rectiligne uniformément variable selon l'axe $(O, \vec{j})$.
⋆ La coordonnée $z$ reste nulle, le mouvement se fait donc dans le plan $(O, \vec{i}, \vec{j})$ : Mouvement plan.
Équation de la trajectoire :
On obtient l'équation de la trajectoire en éliminant le temps entre les deux équations horaires :
On a : $t = \frac{x}{v_0} \Rightarrow y = -\frac{q \cdot E}{2 \cdot m \cdot v_0^2} \cdot x^2$ avec $q < 0$
⋆ La trajectoire de la particule chargée dans le champ électrostatique est parabolique.
⋆ Vitesse de la particule à la sortie du champ électrostatique :
Les coordonnées de $S$ point de sortie de la particule du champ électrostatique sont :
$x_S = \ell$ et $y_S = -\frac{q \cdot E \cdot \ell^2}{2 \cdot m \cdot v_0^2}$
L'instant où la particule quitte le champ électrostatique est : $t_S = \frac{\ell}{v_0}$
les coordonnées de la vitesse au point $S$ seront donc :
$\vec{v}_S \begin{cases} v_{Sx} = v_0 \\ v_{Sy} = -\frac{q \cdot E}{m} \cdot \frac{\ell}{v_0} \\ v_{Sz} = 0 \end{cases}$
Le vecteur $\vec{v}_S$ et la direction horizontale forment un angle $\alpha$ appelée déviation angulaire tel que :
$\tan \alpha = \frac{v_{Sy}}{v_{Sx}} = -\frac{q \cdot E \cdot \ell}{m \cdot v_0^2}$
⋆ Déviation électrostatique :
Après avoir quittée le champ électrostatique, la particule est soumise uniquement à son poids qu'on néglige. Donc
le mouvement de la particule est rectiligne uniforme de vitesse $v_S$ et arrive sur un écran orthogonal à l'axe $(O,x)$,
et distant de $L$ du point $O$.
Remarque
La déviation des électrons est exploitée dans les tubes cathodiques.
La tâche lumineuse qu'on perçoit, par exemple, sur
l'oscilloscope est due à la collision du faisceau d'électrons avec
l'écran du tube cathodique.
On appelle déviation électrique (déviation électrostatique)
la distance entre un point de collision sur un écran en
absence de champ électrostatique et le point de collision en
présence du champ électrostatique.
On a : $D_e = A'A = A'H + HA =$ tel que : $y_S = A'H$ et $\tan \alpha = \frac{AH}{L - \ell}$
Donc : $D_e = y_S + (L - \ell) \cdot \tan \alpha$ et $\tan \alpha = \frac{y_S}{\ell/2}$
D'où : $D_e = -\frac{q \cdot E \cdot \ell}{m \cdot v_0^2} \cdot \left(L - \frac{\ell}{2}\right)$
Et puisque : $E = \frac{U}{d}$, on trouve : $D_e = -\frac{q \cdot U \cdot \ell}{m \cdot v_0^2 \cdot d} \cdot \left(L - \frac{\ell}{2}\right)$
On peut écrire : $D_e = K \cdot U$ avec : $K = -\frac{q \cdot \ell}{m \cdot v_0^2 \cdot d} \cdot \left(L - \frac{\ell}{2}\right)$
⋆ La déviation électrique est proportionnelle à la tension appliquée aux bornes des plaques.
3.1 La force magnétique
Une particule chargée, d'une charge $q$ se déplace à une vitesse $\vec{v}$ dans un champ magnétique, subit une force
magnétique $\vec{F}$ appelée force de Lorentz. Elle est exprimée par la relation :
$\vec{F} = q \cdot \vec{v} \wedge \vec{B}$
Caractéristiques de la force de Lorentz :
- ⋆ Point d'application : particule elle-même (considéré comme un point matériel).
- ⋆ Ligne d'action : perpendiculaire à $\vec{v}$ et $\vec{B}$ (la normale au plan $(\vec{v}, \vec{B})$).
- ⋆ Sens : est tel que le trièdre $(\vec{v}, \vec{B}, \vec{F})$ soit direct.
- ⋆ Intensité : $F = |q \cdot v \cdot B \cdot \sin \alpha|$ avec : $\alpha = (\widehat{\vec{v}, \vec{B}})$.
Remarques
- si $v = 0$ donc $F = 0$ c'est-à-dire que la force magnétique n'a pas d'effet sur une particule au repos.
- si $\vec{v}$ est parallèle à $\vec{B}$ $(\alpha = 0$ ou $\alpha = \pi)$ donc $F = 0$.
- La puissance de la force de Lorentz est nulle $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = 0$ car $\vec{F} \perp \vec{v}$.
- Si la particule chargée est soumise uniquement à la force de Lorentz, on a :
$P = \frac{dE_C}{dt}$ et $P = 0$ donc $E_C = \text{cte}$ c'est-à-dire que l'énergie cinétique de la particule est conservée et donc le mouvement est uniforme $(v = \text{cte})$.
3.2 Étude du mouvement d'une particule chargée dans un champ magnétique uniforme
Un champ magnétique est uniforme, si le vecteur $\vec{B}$ maintient, en chaque point, la même direction, et le même sens, et la même norme.
à un instant choisi comme origine des dates, une particule de charge $q$ et masse $m$ pénètre, par le point $O$, un champ magnétique uniforme $\vec{B}$, avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$ tel que $\vec{v_0} \perp \vec{B}$.
Le système étudié $\{ \text{la particule chargée} \}$
L'inventaire des forces :
⋆ $\vec{P}$ : le poids.
⋆ $\vec{F}$ : force magnétique
On néglige le poids $\vec{P}$ devant la force magnétique $\vec{F}$ car la masse de la particule est très faible.
Le mouvement est étudié dans le repère $R (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ lié à la terre considéré comme galiléen.
En appliquant la 2ème loi de Newton, on écrit : $m \cdot \vec{a} = \sum \vec{F}_{ext} \Rightarrow m \cdot \vec{a}_G = \vec{F} = q \cdot \vec{v} \wedge \vec{B}$ d'où : $\vec{a}_G = \frac{q \cdot \vec{v} \wedge \vec{B}}{m}$
Dans le repère choisi, on a $\vec{B} = B \cdot \vec{k}$
▶ Les conditions initiales à $t = 0$ :
$\overrightarrow{OG_0} \begin{cases} x_0 = 0 \\ y_0 = 0 \\ z_0 = 0 \end{cases}$
et $\vec{v_0} \begin{cases} v_{0x} = 0 \\ v_{0y} = v_0 \\ v_{0z} = 0 \end{cases}$
⋆ Le vecteur accélération $\vec{a}_G$ est perpendiculaire à $\vec{B}$, donc $a_z = 0$ et en intégrant 2 fois, en considérant les conditions initiales, on trouve $z = 0$.
$\Rightarrow$ Le mouvement de la particule chargée dans le champ magnétique uniforme est un mouvement plan.
⋆ Puisque la particule chargée est soumise uniquement à la force magnétique $\vec{F}$, le mouvement est uniforme $(v = v_0 = \text{cte})$.
⋆ L'expression du vecteur accélération dans la base de Frenet : $\vec{a}_G = \frac{dv}{dt} \cdot \vec{u} + \frac{v^2}{\rho} \cdot \vec{n}$
Avec $\rho$ le rayon de courbure de la trajectoire.
⋆ Puisque $v = \text{cte}$ donc $\frac{dv}{dt} = 0$ alors $\vec{a}_G = \frac{v_0^2}{\rho} \cdot \vec{n} = \frac{q}{m} \cdot \vec{v} \wedge \vec{B}$ d'où : $\frac{v_0^2}{\rho} \cdot \vec{n} = \frac{|q| \cdot v_0 \cdot B \cdot \sin \alpha}{m} \cdot \vec{n}$
Et puisque $\vec{v} \perp \vec{B} \Rightarrow \alpha = \frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin \alpha = 1$ donc : $\frac{v_0^2}{\rho} = \frac{|q| \cdot v_0 \cdot B}{m}$ alors : $\rho = \frac{m \cdot v_0}{|q| \cdot B} = \text{cte}$
$\Rightarrow$ La trajectoire de la particule est circulaire car le rayon de courbure de la trajectoire est constant.
Conclusion
Le mouvement d'une particule chargée de masse $m$ et de charge $q$, placée dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$, à une vitesse $\vec{v_0}$ $(\vec{v} \perp \vec{B})$, est circulaire uniforme. La trajectoire de la particule chargée est dans le plan perpendiculaire à $\vec{B}$ et de rayon : $r = \frac{m \cdot v_0}{|q| \cdot B}$
3.3 Déviation magnétique
Un faisceau de particules identique de charge $q$ et de masse $m$, entre par un point $O$ avec une vitesse initiale $\vec{v_0}$ dans un champ magnétique uniforme $\vec{B}$ orthogonal à $\vec{v_0}$. La trajectoire des particules, dans le champ magnétique, est circulaire de rayon $r = \frac{m \cdot v_0}{|q| \cdot B}$.
à la sortie du champ, les particules deviennent pseudo-isolées (on néglige le poids de la particule). Leur mouvement est alors rectiligne uniforme et leur trajectoire est tangente à l'arc $\overset{\frown}{OS}$ au point $S$.
Les particules arrivent en un point $P$ sur un écran perpendiculaire à $OO'$, et placé à une distance $L$ par rapport à $O$.
La distance $D_m = O'P$ représente la déviation magnétique et l'angle $\alpha = (\widehat{\overrightarrow{CO}, \overrightarrow{CS}})$ représente la déviation angulaire.
On a : $\tan \alpha = \frac{O'P}{IO'} = \frac{D_m}{L - OI}$ et $\sin \alpha = \frac{\ell}{r}$
Pour les appareils utilisés, $\alpha$ est petit d'où : $\tan \alpha \approx \sin \alpha \approx \alpha$ ($\alpha$ en rad) et d'autre part $\ell \ll L$ d'où : $L - OI \approx L$
Alors : $\tan \alpha = \frac{D_m}{L} \Rightarrow \frac{\ell}{r} = \frac{D_m}{L} \Rightarrow D_m = \frac{L \cdot \ell}{r}$
et puisque : $r = \frac{m \cdot v_0}{|q| \cdot B}$
Donc : $D_m = \frac{L \cdot \ell \cdot |q| \cdot B}{m \cdot v_0}$
⋆ La déviation magnétique $D_m$ est proportionnelle à l'intensité du champ magnétique $B$.
⋆ La déviation magnétique est exploitée dans la plupart des tubes cathodiques : Télévisions, écrans d'ordinateurs, oscilloscope, ...
4.1 Cyclotron
Le cyclotron est un accélérateur de particules chargées (inventé par Ernest Lawrence en 1930). Il comporte deux électrodes en forme de deux demi-cylindres $(D_1)$ et $(D_2)$ creux de petite hauteur, les deux baignent verticalement dans un champ magnétique de vecteur $\vec{B}$. Un champ électrique est créé entre les deux demi-cylindres à l'aide d'une tension alternative $u$. La période $T$ de la tension $u$ est égale à la période du mouvement circulaire des particules dans le champ magnétique.
À l'instant où le champ électrique est maximal, la source envoie les particules chargées entre les deux demi-cylindre.
Le champ $\vec{E}$ accélère les particules vers $(D_1)$ telles qu'elles réalisent un demi-tour pendant la durée $\frac{T}{2}$, ne dépend pas de la vitesse des particules.
Et au moment où il sort de la boîte $(D_1)$, la direction de $\vec{E}$ change fait accélérer les particules vers la boîte $(D_2)$ telles qu'elles réalisent un demi-tour de rayon plus grand pendant la même période $\frac{T}{2}$. Ainsi, après chaque passage d'une boîte à une autre, la vitesse de la particule et son rayon $R = \frac{m \cdot v}{q \cdot B}$ augmentent, l'énergie cinétique augmente également, jusqu'à ce que le rayon de trajectoire devient égale au rayon de deux demi-cylindre, la particule atteint son but.
4.2 Spectromètre de masse
Le spectromètre de masse est un appareil pouvant être utilisé pour séparer des ions de charges ou de masses différentes, utilisant un champ d'électrons et un champ magnétique. Il est formé de :
- Chambre d'ionisation : on y produit des ions de même charge $q$ mais de masses différentes.
- Chambre d'accélération : à travers une première fente, les ions pénètrent dans cette chambre avec une vitesse négligeable. Ils sont accélérés par un champ électrique uniforme $\vec{E}$ créé par une tension $U$ et sortent à une vitesse $v_0 = \sqrt{\frac{2 \cdot |q| \cdot U}{m}}$.
Chambre de déviation : les ions sont déviés par un champ magnétique uniforme de vecteur $\vec{B}$ perpendiculaire à $\vec{v}$ et les ions suivent des trajectoires circulaires dont le rayon est $R = \frac{m \cdot v_0}{|q| \cdot B}$ selon la valeur de $\frac{m}{|q|}$, on obtient des trajectoires circulaires différentes pour des ions différents.
Détecteur : peut être une plaque photographique ou un compteur électronique. Son rôle est de capter les ions. On peut ainsi mesurer le rayon $R$ et déduire le rapport $\frac{m}{|q|}$ qui caractérise chaque particule et par conséquent on détermine la nature de cette particule.