PROPAGATION D’UNE ONDE LUMINEUSE

1.1 Notion de diffraction de la lumière

Lorsqu'on éclaire une petite fente (trou) par un faisceau Laser, on constate que le principe de propagation rectiligne de la lumière n'est plus vérifié. On observe des tâches lumineuses franges brillantes et d'autres tâches sombres franges sombres. La fente se comporte comme une source lumineuse fictive.

1.2 Modèle ondulatoire de la lumière

• Par analogie avec la diffraction des ondes mécaniques sur une surface d'eau, lorsque la lumière traverse la fente et change de forme ce qui montre que la lumière est nature ondulatoire.
• La lumière est une onde électromagnétique à deux périodes :
  • ⋆ Périodicité spatiale appelée Longueur d'onde $\lambda$.
  • ⋆ Périodicité temporelle appelée Période $T$.
• La lumière se propage dans les milieux matériels et aussi dans le vide.
• La diffraction a lieu lorsque la largeur de la fente $a$ est du même ordre que la longueur d'onde $\lambda$ telle que : $10 \cdot \lambda \leq a \leq 100 \cdot \lambda$

2.1 Onde lumineuse monochromatique

Dispersion : On appelle milieu dispersif un milieu transparent dont l'indice de réfraction ($n$) dépend de la longueur d'onde. C'est à cause du phénomène de dispersion que la lumière blanche est décomposée par un prisme.

• La lumière monochromatique n'est pas dispersée lorsqu'elle traverse un prisme.
• à chaque lumière monochromatique, on associe une onde monochromatique. C'est une onde progressive sinusoïdale de fréquence $\nu$ imposée par la source et de vitesse $V$ qui dépend de la nature du milieu.
• La fréquence $\nu$ ne dépend pas du milieu de propagation.

2.2 Vitesse de propagation d'une onde lumineuse

On exprime la vitesse de propagation d'une onde monochromatique qui se propage dans un milieu transparent et homogène, par la relation :

• $\lambda$ : Longueur d'onde (m).
• $T$ : Période de l'onde (s).
• $\nu$ : Fréquence de l'onde (Hz)

⋆ Domaine de rayons Ultra-violet : Domaine invisible, tel que $10$ nm $\leq \lambda \leq 400$ nm. Ces rayons sont utilisés pour stériliser le matériel médical.

⋆ Domaine de rayons Infra-rouge : Domaine invisible, tel que $800$ nm $\leq \lambda \leq 1000$ $\mu$m. Ces rayons sont émis, par exemple, par le corps humain tels que les longueurs d'onde varient avec la température.

3.1 Facteurs influençant le phénomène de diffraction d'une onde monochromatique par une fente

3.1.1 Activité

On réalise le montage expérimental suivant. Le Laser est de longueur d'onde dans l'air $\lambda = 610$ nm. La fente est de largeur $a$ réglable, et se situe à une distance $D = 1,5$ m de l'écran.

On varie la largeur de la fente $a$, et on mesure à chaque fois la largeur $L$ de la tache centrale. On transmet les résultats de mesures dans le tableau ci-dessous.

⋆ $\theta$ est l'écart angulaire entre le centre de la tache centrale et la première frange sombre.

1. Comment varie la largeur de la tache centrale $L$ avec la largeur de la fente $a$ ?
2. Sachant que $\theta$ est très petit, donner la relation entre $\theta$, $L$ et $D$ en s'appuyant sur la figure de diffraction.
3. Compléter le tableau.
4. Représenter la courbe $\theta = f\left(\frac{1}{a}\right)$. Écrire son équation et conclure.
5. Exprimer $L$ largeur de la tache centrale en fonction de $a$, $\lambda$ et $D$.
6. Quels sont alors les facteurs influençant le phénomène de diffraction des ondes lumineuses.

Réponses

1. Plus la largeur de la fente $a$ est faible, la largeur de la tache centrale $L$ est grande.

2. D'après la figure de diffraction, on a : $\tan \theta = \frac{L/2}{D}$ et puisque $\theta$ est petit, on a : $\tan \theta \simeq \theta$ donc :

3. Tableau complété (voir ci-dessus).

4. La courbe obtenue est une fonction linéaire qui passe par l'origine et s'écrit : $\theta = k \cdot \frac{1}{a}$ tel que $k$ est le coefficient directeur.

$k = \frac{\Delta \theta}{\Delta(1/a)} = \frac{(5,3 - 3,3) \cdot 10^{-3}}{(8,3 - 5) \cdot 10^3} = 6,06 \cdot 10^{-7}$ m $= 606$ nm

On déduit que : $k \simeq \lambda$, on écrit alors :

5. Largeur de la tache centrale :

On a : $\theta = \frac{L}{2 \cdot D} = \frac{\lambda}{a}$ donc :

6. D'après la question 5, on constate que :

• La largeur de la tache centrale $L$ augmente lorsque la largeur de la fente $a$ diminue
• La largeur de la tache centrale $L$ augmente lorsque la distance $D$ augmente.
• La largeur de la tache centrale $L$ augmente lorsque la longueur d'onde $\lambda$ du Laser augmente.

4.1 Indice de réfraction d'un milieu transparent

Chaque rayon lumineux se réfracte lorsqu'il change de milieu où il se propage. Chaque milieu se caractérise alors par une propriété appelée indice de réfraction de symbole $n$. il est définit par :

• $c$ : célérité de la lumière dans le vide.
• $v$ : célérité de la lumière dans le milieu considéré.

⋆ L'indice de réfraction dépend également de la longueur d'onde $\lambda$, en effet : $n = \frac{c}{v} = \frac{\lambda_0 \cdot \nu}{\lambda \cdot \nu}$ donc :

• $\lambda_0$ : Longueur d'onde dans le vide.
• $\lambda$ : Longueur d'onde dans le milieu.

4.2 Dispersion de la lumière par un prisme

• Le prisme est un milieu transparent et homogène limité par deux plans inclinés entre lesquels est définie un angle $A$ appelé angle du prisme.
• La dispersion de la lumière permet de séparer les rayons de longueurs d'ondes différentes.
• La couleur violette est la plus déviée lors de la dispersion de la lumière blanche.

⋆ On appelle Déviation $D$ l'angle formé par le rayon incident à l'entrée du prisme et le rayon réfracté à la sortie du prisme.

Soit $n$ l'indice de réfraction du prisme et $1$ l'indice de l'air. On a :

• Loi de Descartes de la réfraction au point $I$ : $\sin i = n \cdot \sin r$
• Loi de Descartes de la réfraction au point $K$ : $n \cdot \sin r' = \sin i'$
• Pour le triangle $ILK$, on a : $A + \left(\frac{\pi}{2} - r\right) + \left(\frac{\pi}{2} - r'\right) = \pi$ c'est à dire : $A - (r + r') + \pi = \pi$ donc : $A = r + r'$
• D'autre part, on a : $D = \alpha + \beta$ et $i = \alpha + r$ et $i' = \beta + r'$ c'est à dire : $D = (i - r) + (i' - r') = i + i' - (r + r')$ donc :

4.3 Explication du phénomène de dispersion

D'après la relation $n = \frac{\lambda_0}{\lambda}$, on a vu que l'indice de réfraction dépend de la longueur d'onde.

Le faisceau lumineux incident contient des rayons monochromatiques parallèles c'est à dire ils ont le même angle d'incidence $i$. Prenons le rayon rouge et le rayon violet, on a : $i_V = i_R$ et $n_V > n_R$ (car $\lambda_V < \lambda_R$)

• ⋆ d'après : $\sin i = n \cdot \sin r$, on a : $r_V < r_R$
• ⋆ On a : $A = r_V + r'_V = r_R + r'_R =$ cte c'est à dire : $r'_V > r'_R$
• ⋆ d'après : $n \cdot \sin r' = \sin i'$, on a : $i'_V > i'_R$
• ⋆ d'après : $D = i + i' - A$ et $i_V = i_R$ et $A =$ cte donc : $D_V > D_R$

♠ On en déduit que les rayons n'ont pas la même déviation lors de leur sortie du prisme, d'où le phénomène de dispersion.