Oscillations libres dans un circuit RLC série

1. Décharge d'un condensateur dans une bobine

1.1 Systèmes d'oscillations libres du circuit RLC série

Activité
On réalise le circuit électrique ci-contre :

Le condensateur est initialement déchargé. Pour le charger, on met l'interrupteur à la position ①.
Lorsque le condensateur est entièrement chargé ($u_C = E = 6$ V), on bascule l'interrupteur $K$ vers la position ②, le condensateur se décharge à travers la bobine et la résistance $R$.
On prend au début : $R_T = R + r = 10$ $\Omega$, $L = 50$ mH et $C = 2$ $\mu$F.
On considère l'origine des dates, l'instant $t = 0$ où l'interrupteur est basculé vers la position ②, puis on visualise l'évolution de la tension $u_C$ aux bornes du condensateur en fonction du temps.
On obtient les courbes suivantes pour différentes valeurs de la résistance totale $R_T$.

Remarques :

Lorsque l'interrupteur $K$ est à la position ②, on obtient un circuit RLC libre.
Lorsque la tension $u_C$ aux bornes du condensateur diminue, on dit que les oscillations sont amorties.
Les oscillations sont dites libres car le circuit RLC n'est pas alimenté par une énergie électrique.

Amortissement des oscillations :

⋆ Dans les régimes apériodique et pseudo-périodique, l'énergie totale $E_T$ diminue à cause de l'existence de la résistance $R_T$ dans laquelle l'énergie est dissipée par effet Joule.
⋆ Dans le régime périodique, l'énergie totale $E_T$ reste constante car la résistance du circuit $R_T = 0$. pas de dissipation d'énergie.

1.2 Équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$

On considère le circuit RLC série représenté ci-contre.

⋆ La résistance totale du circuit est : $R_T = R + r$

⋆ La loi d'additivité des tensions : $u_R + u_L + u_C = 0$

avec : $u_R = R \cdot i$ et $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$ et $u_L = L \cdot \frac{di}{dt} + r \cdot i$

Donc : $u_R = RC \cdot \frac{du_C}{dt}$ et $u_L = rC \cdot \frac{du_C}{dt} + LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2}$

Ainsi : $LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R + r)C \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$.

Finalement :

$$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{R_T}{L} \cdot \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC} \cdot u_C = 0$$

Remarque :
⋆ On a $q = C \cdot u_C$ et $i = \frac{dq}{dt}$, $u_C = \frac{q}{C}$ et $u_R = R \cdot \frac{dq}{dt}$ et $u_L = L \cdot \frac{d^2q}{dt^2} + r \cdot \frac{dq}{dt}$ donc :

$L \cdot \frac{d^2q}{dt^2} + (R + r) \cdot \frac{dq}{dt} + \frac{q}{C} = 0$

Ainsi, l'équation différentielle vérifiée par la charge $q$ est :

$$\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{R_T}{L} \cdot \frac{dq}{dt} + \frac{q}{LC} = 0$$

⋆ Le terme $\frac{R_T}{L} \cdot \frac{du_C}{dt}$ (ou $\frac{R_T}{L} \cdot \frac{dq}{dt}$) est le responsable à l'amortissement des oscillations. En absence de ce terme, les oscillations deviennent périodique sinusoïdales.

2. Oscillations non amorties dans un circuit idéal LC

Lorsque la résistance du circuit RLC est négligeable ($R_T$), le circuit est qualifié de circuit idéal LC.

2.1 Équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$

On considère le circuit idéal LC représenté ci-contre.

⋆ La loi d'additivité des tensions : $u_L + u_C = 0$

⋆ Puisque $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$ et $u_L = L \cdot \frac{di}{dt}$ donc : $u_L = LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2}$

Ainsi : $LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + u_C = 0$ ou bien

$$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} \cdot u_C = 0$$

Remarque
On sait que : $q = C \cdot u_C$ c'est à dire $u_C = \frac{q}{C}$
Ainsi, l'équation différentielle vérifiée par la charge $q$ est : $\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{LC} = 0$

⋆ Le terme responsable à l'amortissement des oscillations est nul, on obtient des oscillations sinusoïdales et un régime périodique.

2.2 Solution de l'équation différentielle

La solution de l'équation différentielle $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} \cdot u_C = 0$ s'écrit sous la forme : $u_C(t) = U_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)$ telle que :

$U_m$ : amplitude maximale de la tension $u_C$, exprimée en (V).
$\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t + \varphi\right)$ : phase de la tension $u_C$, exprimée en (rad).
$T_0$ : période propre des oscillations, exprimée en (s).
$\varphi$ : phase à l'origine ($t = 0$), exprimée en (rad). On choisit : $-\pi \leq \varphi \leq \pi$

2.2.1 Expression de la période propre $T_0$

On a : $u_C(t) = U_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)$ donc : $\frac{du_C}{dt} = -U_m \cdot \frac{2\pi}{T_0} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t + \varphi\right)$

$\frac{d^2u_C}{dt^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{du_C}{dt}\right) = \frac{d}{dt}\left(-U_m \cdot \frac{2\pi}{T_0} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)\right) = -U_m \cdot \frac{4\pi^2}{T_0^2} \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T} \cdot t + \varphi\right) = -\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cdot u_C$

On remplace dans l'équation différentielle :

$-\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 \cdot u_C + \frac{1}{LC} \cdot u_C = 0$ c'est à dire : $\left(\frac{2\pi}{T_0}\right)^2 = \frac{1}{LC}$

Donc :

$$T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$$

⋆ La fréquence propre des oscillations est :

$$f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}$$

Remarques :

⋆ Équation des dimensions de la période propre $T_0$ :

On a : $u_L = L \cdot \frac{di}{dt}$ donc : $[L] = \frac{[u] \cdot [t]}{[i]}$
On a : $i = C \cdot \frac{du_C}{dt}$ donc : $[C] = \frac{[i] \cdot [t]}{[u]}$

$\Rightarrow [T_0] = [2\pi \sqrt{LC}] = \sqrt{[L] \cdot [C]} = \sqrt{\frac{[u] \cdot [t]}{[i]} \cdot \frac{[i] \cdot [t]}{[u]}} = \sqrt{[t]^2}$ donc : $[T_0] = [t]$

♠ La période propre $T_0$ est un temps qui est exprimée en (s).

⋆ Pour le régime pseudo-périodique, la valeur de la pseudo-période $T$ est voisine de celle de $T_0$ : $T = T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$

2.2.2 Détermination de $U_m$ et $\varphi$

On a : $u_C(t) = U_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \varphi\right)$, pour $t = 0$, on écrit :

$u_C(0) = U_m \cdot \cos(\varphi)$

D'après les conditions initiales ($t = 0$), on a : $u_C(0) = E$.

Puisque $U_m$ représente la valeur maximale de $u_C$ (amplitude de $u_C$), donc :

$U_m = E$ et $\cos(\varphi) = 1$ c'est à dire : $\varphi = 0$

Finalement : L'expression de $u_C$ est : $u_C(t) = E \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t\right)$ ou bien $u_C(t) = E \cdot \cos(2\pi \cdot f_0 \cdot t)$

2.2.3 Expression de la charge du condensateur $q(t)$

On a : $q = C \cdot u_C$ et $u_C(t) = E \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t\right)$

Donc : $q(t) = C \cdot E \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t\right)$ ou bien $q(t) = Q_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t\right)$

avec $Q_m = C \cdot E$ : valeur maximale de la charge du condensateur (amplitude de $q(t)$).

2.2.4 Expression de l'intensité de courant $i(t)$

On a : $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$, donc :

$i(t) = -C \cdot E \cdot \frac{2\pi}{T_0} \cdot \sin\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t\right)$ ou bien

$i(t) = I_m \cdot \cos\left(\frac{2\pi}{T_0} \cdot t + \frac{\pi}{2}\right)$

Rappel : $\cos\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin \alpha$

avec : $I_m = C \cdot E \cdot \frac{2\pi}{T_0} = \frac{2\pi \cdot C \cdot E}{2\pi \sqrt{LC}} = E \cdot \sqrt{\frac{C}{L}}$ est l'intensité maximale (A).

3. Transfert d'énergie entre le condensateur et la bobine

3.1 Énergie du circuit idéal LC

L'énergie $E_T$ du circuit idéal LC, reste constante au cours du temps et égale à l'énergie initialement emmagasinée dans le condensateur. On dit que l'énergie totale se conserve, c'est à dire $E_T = \text{cte}$ et $\frac{dE_T}{dt} = 0$.
Au cours des oscillations non amorties, l'énergie électrique $E_e$ emmagasinée dans le condensateur se transforme en énergie magnétique $E_m$ dans la bobine et inversement.

On a : $E_e = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_C^2$ et $E_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2$

Rappel : $\cos^2 \alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ et $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

L'expression de l'énergie totale :

$$E_T = E_e + E_m = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_C^2 + \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2$$

Remarque :

⋆ Lorsque $u_C = U_m$, on a : $i = 0$, donc : $E_T = E_{e,\max} = \frac{1}{2} \cdot C \cdot U_m^2$
⋆ Lorsque $u_C = 0$, on a : $i = I_m$, donc : $E_T = E_{m,\max} = \frac{1}{2} \cdot L \cdot I_m^2$

3.2 Énergie du circuit RLC série

L'énergie totale du circuit RLC diminue du fait de l'existence de la résistance $R$ qui transforme une partie d'énergie en énergie thermique dissipée par effet Joule.
Lorsque l'énergie électrique $E_e$ diminue, l'énergie magnétique $E_m$ augmente et inversement.
Les variations de $E_e$ et de $E_m$ est pseudo-périodiques, de période qui vaut la demi-période de la tension $u_C$.

L'expression de l'énergie totale du circuit RLC série, à l'instant $t$ :

$$E_T = \frac{1}{2} \cdot C \cdot u_C^2 + \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{q^2}{C} + \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2$$

On a : $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$

$\frac{dE_T}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2\right) + \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} \cdot C \cdot u_C^2\right) = L \cdot i \cdot \frac{di}{dt} + C \cdot u_C \cdot \frac{du_C}{dt} = i \cdot \left(L \cdot \frac{di}{dt} + u_C\right) = i \cdot \left(LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + u_C\right)$

L'équation différentielle vérifiée par la tension $u_C$ : $LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + R_TC \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

c'est à dire : $LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + u_C = -R_T \cdot \frac{du_C}{dt} = -R_T \cdot i$ donc : $\frac{dE_T}{dt} = i \cdot (-R_T \cdot i) \Rightarrow \frac{dE_T}{dt} = -R_T \cdot i^2$

♠ L'énergie totale du circuit RLC est décroissante (car $\frac{dE_T}{dt} < 0$), une partie d'énergie est dissipée par effet Joule à cause la résistance $R_T$.

4. Entretien des oscillations

L'amplitude des oscillations du circuit RLC série diminue progressivement au cours de temps à cause de la dissipation de l'énergie par effet Joule dans la résistance $R_T$ du circuit. Pour les entretenir (obtenir des oscillations d'amplitude constante), On ajoute au circuit un appareil qui compense, à chaque instant, l'énergie dissipée par effet Joule.

L'appareil d'entretien est un générateur qui alimente le circuit par une tension proportionnelle à l'intensité de courant $i$ qui parcourt le circuit : $u_G = R_0 \cdot i$

L'appareil d'entretien se comporte comme une résistance négative de valeur $-R_0$.

Étude théorique.
On considère suivant contenant l'appareil d'entretien $G$.

⋆ La loi d'additivité des tensions : $u_R + u_L + u_C = u_G$

Avec : $u_G = R_0 \cdot i$ et $i = \frac{dq}{dt} = C \cdot \frac{du_C}{dt}$ et $R_T = R + r$, Donc :

$R \cdot i + r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt} + u_C = R_0 \cdot i$

$LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R + r) \cdot i - R_0 \cdot i + u_C = 0$

$LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R_T - R_0) \cdot i + u_C = 0$

$LC \cdot \frac{d^2u_C}{dt^2} + (R_T - R_0) \cdot \frac{du_C}{dt} + u_C = 0$

$$\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{(R_T - R_0)}{L} \cdot \frac{du_C}{dt} + \frac{1}{LC} \cdot u_C = 0$$

♠ En réglant $R_0$ à une valeur égale à $R_T$ ($R_0 = R_T$), le terme responsable à l'amortissement s'annule : $\frac{(R_T - R_0)}{L} \cdot \frac{du_C}{dt} = 0$

On obtient l'équation différentielle du circuit idéal LC : $\frac{d^2u_C}{dt^2} + \frac{1}{LC} \cdot u_C = 0$

⋆ La période des oscillations est donc : $T_0 = 2\pi \sqrt{LC}$

Remarque
En ajoutant l'appareil d'entretien, on peut générer une tension sinusoïdale de fréquence contrôlée par les valeurs de $L$ et $C$.

Previous Lesson

Back to Course

Next Lesson