dipole RL

1. La bobine

1.1 Définition et symbole

La bobine est un dipôle constitué d'un enroulement non connecté de fil conducteur de cuivre autour d'un noyau.

Symbole de la bobine est :

Figure VII-1

tel que :

  • $r$ : la résistance interne de la bobine.
  • $L$ : l'inductance de la bobine, son unité dans (S.I) est Henry H

1.2 Tension aux bornes de la bobine

L'expression de la tension $u_L$ aux bornes d'une bobine de résistance $r$ et d'inductance $L$ est :

$$u_L = r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt}$$
  • $u_L$ : tension aux bornes de la bobine (V)
  • $r$ : résistance interne $\Omega$.
  • $L$ : Inductance de la bobine (H)
  • $i$ : intensité du courant (A)

Remarque : Dans le régime permanent, l'intensité de courant est constante $i = \text{Cte}$ donc $\frac{di}{dt} = 0$ c-à-d $u_L = r \cdot i$.

En courant continue, la bobine se comporte comme un conducteur ohmique.

1.3 L'influence de la bobine dans un circuit

On réalise le montage expérimental ci-contre

  • Lorsqu'on ferme l'interrupteur, la lampe $L_1$ ne brille pas instantanément, mais s'allume avec un retard par rapport la lampe $L_2$.
  • Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, la lampe $L_1$ s'éteint avec un retard par rapport la lampe $L_2$.

Conclusion : La bobine résiste l'établissement ou l'annulation du courant qui la traverse.

Figure VII-2
2. Dipôle RL

2.1 Définition

Le dipôle RL est l'association en série d'un conducteur ohmique de résistance $R$ et d'une bobine son inductance $L$ et sa résistance interne $r$.

Figure VII-3

2.2 Étude expérimentale d'une réponse d'un dipôle RL

On réalise le montage expérimental ci-contre.

Figure VII-4

On choisit : $R_T = 100$ $\Omega$; $L = 0,2$ H ; $E = 6$ V.

à l'instant $t = 0$ on ferme interrupteur et puis on visualise la variation de l'intensité du courant électrique $i$ qui circulent dans le circuit en fonction du temps, et on obtient la figure 1.

la figure 1 : l'établissement du courant : le dipôle RL est soumis a une échelon ascendante de tension.

Lorsque l'intensité de courant est constante, on ouvre l'interrupteur $K$ et on obtient la figure 2.

la figure 2 : l'annulation du courant : le dipôle RL soumis a une échelon descendante de tension.

Figure VII-5

Remarque : Le rôle de la diode :

  • Ne laisse passer le courant que dans un seul sens.
  • Permet d'éviter l'apparition des étincelles dues aux sur tensions aux bornes de la bobine.
  • protège ainsi les composants du circuit qui sont autour de la bobine.

Conclusion

  • L'intensité du courant traversant la bobine est continue : $\forall t \quad i(t^+) = i(t^-)$.
  • La durée de l'établissement ou l'annulation du courant est $5\tau$.
  • On distingue deux régimes :
    • Régime transitoire : l'intensité du courant croît ou décroît pour $t < 5\tau$.
    • Régime permanent : On l'obtient pour $t > 5\tau$ où l'intensité du courant reste constante et a pour valeur $\frac{E}{R_T}$ lors de l'établissement du courant et nulle lors de l'annulation du courant.
  • La durée de l'établissement ou l'annulation du courant augmente lorsque la valeur de $L$ augmente ou la valeur de $R$ diminue.

2.3 Réponse d'un dipôle RL à un échelon montant de tension (établissement du courant)

2.3.1 Équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant

On considère le circuit électrique ci-contre, à l'origine du temps $t = 0$ on ferme l'interrupteur $K$.

La résistance totale du dipôle RL est $R_T = R + r$.

On applique la loi d'additivité des tensions : $u_R + u_L = E$ (H)

D'après la loi d'ohm : $u_R = R \cdot i$

La tension aux bornes de la bobine est : $u_L = r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt}$

On remplace dans l'équation (H) et on trouve $r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt} + R \cdot i = E$

C-à-d : $L \cdot \frac{di}{dt} + (r + R) \cdot i = E$ Donc : $\frac{L}{R_T} \cdot \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R_T}$ on pose : $\tau = \frac{L}{R_T}$

Enfin : $\tau \cdot \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R_T}$

Figure VII-6

Remarque
On a $u_R = R \cdot i \Rightarrow i = \frac{u_R}{R} \Rightarrow u_L = r \cdot \left(\frac{u_R}{R}\right) + L \cdot \frac{d\left(\frac{u_R}{R}\right)}{dt}$
On remplace dans l'équation (H) et on trouve :
$\tau \cdot \frac{du_R}{dt} + u_R = \frac{E \cdot R}{R_T}$
C'est l'équation différentielle vérifiée par la tension $u_R$.

2.3.2 Solution de l'équation différentielle

La solution de l'équation différentielle $\tau \cdot \frac{di}{dt} + i = \frac{E}{R_T}$ s'écrit sous la forme : $i(t) = A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t}$ telle que : $A$, $B$ et $\alpha$ sont des constantes.

♠ Détermination des constantes $A$ et $\alpha$.
On a : $i(t) = A + Be^{-\alpha \cdot t}$ donc $\frac{di}{dt} = 0 - B \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t} = -B \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t}$

On remplace dans l'équation différentielle : $-\tau \cdot B \cdot \alpha \cdot e^{-\alpha \cdot t} + A + B \cdot e^{-\alpha \cdot t} = \frac{E}{R_T}$ c'est à dire $B \cdot e^{-\alpha \cdot t}(1 - \tau \cdot \alpha) = \frac{E}{R_T} - A$

Pour que l'équation soit vérifiée quelque soit $t$, il faut que : $1 - \tau \cdot \alpha = 0$ et $\frac{E}{R_T} - A = 0$

Donc : $\alpha = \frac{1}{\tau} = \frac{R_T}{L}$ et $A = \frac{E}{R_T}$

♠ Détermination de $B$ à partir des conditions initiales.
Puisque l'intensité du courant est une fonction continue et selon les conditions initiales $i(t_0) = 0$

On remplace dans la solution de l'équation différentielle à $t = 0$ : $0 = A + B \cdot e^0 \Rightarrow B = -A$ et puisque $A = \frac{E}{R_T}$ donc : $B = -\frac{E}{R_T}$

Finalement : L'expression de l'intensité du courant traversant le circuit RL est :

$$i(t) = \frac{E}{R_T} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$$

Remarque

On a : $u_R = R \cdot i$, D'où l'expression de $u_R$ est :
$u_R = \frac{R \cdot E}{R_T} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

L'expression de $u_L$ est : On a $u_L = r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt}$

Donc, $u_L = \frac{r \cdot E}{R_T} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) + \frac{L \cdot E}{R_T \cdot \tau} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

$\Rightarrow u_L = \frac{r \cdot E}{R_T} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right) + E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Si $r$ est négligeable devant $R$ c-à-d $\frac{r}{R_T} \approx 0$, on trouve : $u_L = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Figure VII-7

2.4 Réponse d'un dipôle RL à un échelon descendant : annulation du courant

2.4.1 Équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant $i$

On considère le circuit ci-contre, tel que l'interrupteur est fermé et l'intensité du courant est constante $I_0 = \frac{E}{R_T}$.

à l'instant $t = 0$, on ouvre l'interrupteur $K$, et on considère que la diode est idéale $(U_D = 0)$.

selon la loi d'additivité des tensions : $u_R + u_L = 0$ (H)

Et puisque : $u_R = R \cdot i$ et $u_L = r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt}$ On remplace les deux expressions dans l'équation (H) et on trouve :

$L \cdot \frac{di}{dt} + (r + R) \cdot i = 0$ Donc : $\frac{L}{R_T} \cdot \frac{di}{dt} + i = 0$ on pose : $\tau = \frac{L}{R_T}$

Enfin : $\tau \cdot \frac{di}{dt} + i = 0$ C'est L'équation différentielle vérifiée par l'intensité du courant $i$ pendant la rupture du courant.

Figure VII-8

2.4.2 Solution de l'équation différentielle

La solution de l'équation différentielle $\tau \cdot \frac{di}{dt} + i = 0$ s'écrit sous la forme : $i(t) = A \cdot e^{-m \cdot t}$ telle que : $A$ et $m$ sont des constantes.

♠ Détermination de $m$.
On a : $i(t) = A \cdot e^{-mt}$ donc $\frac{di}{dt} = -A \cdot m \cdot e^{-mt}$

On remplace dans l'équation différentielle : $-\tau \cdot A \cdot m \cdot e^{-mt} + A \cdot e^{-mt} = 0$ c'est à dire : $1 - m \cdot \tau = 0$

Ainsi : $m = \frac{1}{\tau} = \frac{R_T}{L}$

♠ Détermination de $A$ à partir des conditions initiales.
à l'instant $t = 0$, on a $I_0 = \frac{E}{R_T}$ (l'intensité du courant $i(t)$ est une fonction continue).

On remplace dans la solution de l'équation différentielle à $t = 0$ : $i = A \cdot e^0$ c'est à dire : $A = \frac{E}{R_T}$.

Finalement : L'expression de l'intensité du courant $i$ pendant la rupture du courant est :

$$i(t) = \frac{E}{R_T} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$$

Remarque

On a : $u_R = R \cdot i$, D'où l'expression de $u_R$ est :
$u_R = \frac{R \cdot E}{R_T} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

L'expression de $u_L$ est : On a $u_L = -u_R$
Donc, $u_L = -\frac{R \cdot E}{R_T} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Figure VII-9

En résumé :

Figure VII-10

2.5 Constante de temps $\tau$

⋆ La constante de temps $\tau$ du dipôle RL vaut : $\tau = \frac{L}{R_T}$

2.5.1 Équation des dimensions pour la constante de temps $\tau$

Loi d'ohm : $u = R \cdot i$ : $[R] = \frac{[u]}{[i]}$

Pour la bobine : $u_L = L \cdot \frac{di}{dt}$ : $[L] = \frac{[u] \cdot [t]}{[i]}$

Donc : $\frac{[L]}{[R_T]} = \frac{\frac{[u] \cdot [t]}{[i]}}{\frac{[u]}{[i]}} = \frac{[u]}{[i]} \cdot \frac{[i] \cdot [t]}{[u]}$ c'est à dire : $\frac{[L]}{[R_T]} = [t] = T$

♠ La constante $\tau$ a la dimension d'un temps, c'est pour cela elle est appelée constante de temps. Elle est exprimée en secondes (s).

2.5.2 Détermination de la constante de temps $\tau$

• Pendant l'établissement du courant : $i(t) = \frac{E}{R_T} \cdot \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)$

Figure VII-11

⋆ Méthode 1 : à l'instant $t = \tau$, on a :
$i(\tau) = \frac{E}{R_T} \cdot (1 - e^{-1}) = 0,63 \times \frac{E}{R_T}$
$\rightarrow \tau$ est l'abscisse correspondant à l'ordonnée $0,63 \cdot \frac{E}{R_T}$.

⋆ Méthode 2 : $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point $t = 0$ et l'asymptote $i = \frac{E}{R_T}$.

• Pendant l'annulation du courant : $i(t) = \frac{E}{R_T} \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}$

Figure VII-12

⋆ Méthode 1 : à l'instant $t = \tau$, on a :
$i(\tau) = \frac{E}{R_T} \cdot e^{-1} = 0,37 \times \frac{E}{R_T}$
$\rightarrow \tau$ est l'abscisse correspondant à l'ordonnée $0,37 \cdot \frac{E}{R_T}$.

⋆ Méthode 2 : $\tau$ est l'abscisse du point d'intersection de la tangente à la courbe au point $t = 0$ et l'axe des abscisses.

3. Énergie emmagasinée dans la bobine

3.1 Mise en évidence expérimentale

On réalise le circuit électrique ci-contre :

  • Lorsqu'on ferme l'interrupteur, le courant passe dans la bobine tandis que la diode polarisée dans le sens inverse ne laisse pas passer le courant dans la lampe et cette dernière ne s'allume pas.
  • Lorsqu'on ouvre l'interrupteur, l'énergie magnétique emmagasinée dans la bobine est transférée à la lampe et cette dernière s'allume.
Figure VII-13

Remarque : L'énergie emmagasinée dans la bobine augmente lorsqu'on augmente l'intensité du courant traversant la bobine ou son inductance.

3.2 Expression de l'énergie magnétique emmagasinée $E_m$ dans la bobine

La puissance électrique reçue par la bobine lorsque l'interrupteur est fermé est : $P = u_L \cdot i$

Puisque : $u_L = r \cdot i + L \cdot \frac{di}{dt}$ donc : $P = r \cdot i^2 + L \cdot i \cdot \frac{di}{dt} = r \cdot i^2 + \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2\right)$

La grandeur $r \cdot i^2$ est la puissance dissipée par effet joule dans la bobine.

La grandeur $\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2\right)$ est la puissance emmagasinée dans la bobine.

Et puisque : $P = \frac{dE_m}{dt}$, donc l'énergie électrique emmagasinée dans la bobine est :

Conclusion
l'expression de énergie magnétique emmagasinée dans la bobine est :

$$E_m = \frac{1}{2} \cdot L \cdot i^2$$
  • $E_m$ : L'énergie magnétique (J)
  • $L$ : Inductance de la bobine (H)
  • $i$ : intensité du courant (A)
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