Decroissance Radioactive

1. La stabilité et l'instabilité du noyau

1.1 Composition du noyau (Rappel)

Le noyau d'un atome est constitué de nucléons (protons et neutrons).
Le noyau d'un atome d'un élément chimique est représenté par le symbole : $_Z^A X$ tel que :

$A$ : nombre de masse représente le nombre de nucléons (protons et neutrons).
$Z$ : nombre de charge représente le nombre de protons.
$N$ : nombre de neutrons définie par la relation : $N = A - Z$.

Exemple : Donner la composition du noyau d'oxygène $_8^{16}O$.

$\Rightarrow$ Nombre de protons : 8 ; Nombre de neutrons : $N = 16 - 8 = 8$

1.2 L'élément chimique

L'élément chimique est constitué par l'ensemble des atomes et des ions ayant le même nombre de protons $(Z)$.

1.3 Nucléide

Dans la physique atomique, un nucléide est l'ensemble des noyaux ayant un nombre bien déterminé de nucléons $A$ et de protons $Z$.

Exemple :

$_6^{12}C$ et $_6^{14}C$ sont deux nucléides de l'élément carbone.
$_{92}^{235}U$ et $_{92}^{238}U$ sont deux nucléides de l'élément uranium.

1.4 Les isotopes

On appelle isotopes d'un élément chimique, les nucléides qui possèdent le même nombre de protons $Z$ mais un nombre de neutrons $N$ différent (nombre de nucléons $A$ différent).

$_6^{12}C$ et $_6^{14}C$ sont deux isotopes du même élément de carbone...

Remarque : l'abondance naturelle $\theta$ des isotopes est le pourcentage en masse de chacun des isotopes $m_i$ dans le mélange naturel de masse $m$ avec : $m = \sum m_i \theta_i$.

1.5 La densité de la matière nucléaire

On modélise le noyau d'un atome par une sphère de rayon $r$ qui varie avec le nombre de nucléons $A$ selon l'expression suivante : $r = r_0 \cdot A^{1/3}$ avec : $r_0 = 1,2 \cdot 10^{-15}$ m : rayon de l'atome d'hydrogène.

La valeur approximative de la masse volumique du noyau est :

$$\rho = \frac{A \cdot m}{V} \Rightarrow \rho = \frac{A \cdot m}{\frac{4}{3} \pi \cdot r^3} \Rightarrow \rho = \frac{3 \cdot m}{4 \pi \cdot r_0^3}$$

On considère la masse approximative du nucléon est : $m = 1,67 \cdot 10^{-27}$ Kg.

Donc la masse volumique : $\rho \approx 2,3 \cdot 10^{17}$ Kg.m$^{-3}$.

C'est ce qui explique que la matière nucléaire est très dense.

1.6 Le diagramme (N,Z) : Diagramme de Segré

Le Diagramme de Segré, permet de distinguer deux familles de noyaux :

Noyaux stables.
certains noyaux gardent indéfiniment la même composition : se sont des noyaux stable.

Pour $Z < 20$, les noyaux stables se situent au voisinage de la droite d'équation $N = Z$. Ils contiennent à peu près autant de protons que de neutrons.
Pour $Z > 20$, le nombre de neutrons augmente plus vite que le nombre de protons ; les noyaux se répartissent au-dessus de la droite $Z = N$.

Noyaux instables.
L'instabilité du noyau a lieu si :

Le noyau-père possède trop de neutrons par rapport au nombre de protons.
Le noyau-père possède trop de protons par rapport au nombre de neutrons.
Le noyau-père possède un grand nombre de nucléons $(A > 208)$.

2. La radioactivité

2.1 Définitions

Un noyau radioactif est un noyau instable qui se désintègre spontanément en émettant une particule.
La radioactivité est une désintégration naturelle d'un noyau radioactif à un noyau fils plus stable avec émission d'une particule. Elle s'exprime par l'équation suivante : $_Z^{A_1} X \rightarrow _{Z_2}^{A_2} Y + _{Z_3}^{A_3} p$.

Où $X$ est le symbole du noyau père, $Y$ celui du noyau fils et $p$ celui de la particule émise.

2.2 Propriétés de la radioactivité

La radioactivité est :

Aléatoire : on ne peut pas prédire l'instant exact où un noyau va se désintégrer.
Spontanée : la désintégration se fait sans intervention extérieure.
Inévitable : le noyau radioactif sera désintégrer tôt ou tard, rien ne peut l'empêcher.
ne dépend pas des facteurs extérieurs comme la pression, la chaleur, …
Ne dépend pas de liaisons chimiques formées par l'atome qui contient le noyau radioactif.

2.3 Lois de conservation

Les transformations nucléaires obéissent à des lois de conservation, appelées lois de conservation de Soddy :
Lors des transformations nucléaires, il y a conservation du nombre de charge $Z$ et du nombre de nucléons $A$.

Exemple :
Déterminer les nombres $a$ et $b$ dans l'équation suivante : $_{84}^{210}Po \rightarrow _a^{?}Pb + _b^4He$.

Réponse :

conservation du nombre de charge $Z$ : $84 = 82 + b \Rightarrow b = 2$
conservation du nombre de nucléons $A$ : $210 = 4 + a \Rightarrow a = 206$

2.4 Les différents types d'émissions radioactives

2.4.1 Radioactivité $\alpha$

La radioactivité $\alpha$ est une désintégration nucléaire naturelle spontanée correspond aux noyaux lourds $(A > 200)$ dans laquelle un noyau père $_Z^A X$ se transforme en un noyau fils $_{Z-2}^{A-4}Y$ accompagnée de l'émission d'un noyau d'Hélium $_2^4He$ appelé particule $\alpha$, selon l'équation suivante :

$$_Z^A X \rightarrow _{Z-2}^{A-4}Y + _2^4He$$

Exemple : $_{88}^{226}Ra \rightarrow _{86}^{222}Pb + _2^4He$

2.4.2 Radioactivité $\beta^-$

La radioactivité $\beta^-$ est une désintégration nucléaire naturelle spontanée, dans laquelle un noyau père $_Z^A X$ se transforme en un noyau fils $_{Z+1}^A Y$ accompagnée de l'émission d'un électron $_{-1}^0 e$ appelé particule $\beta^-$, selon l'équation suivante :

$$_Z^A X \rightarrow _{Z+1}^A Y + _{-1}^0 e$$

Exemple : $_{27}^{60}Co \rightarrow _{28}^{60}Ni + _{-1}^0 e$

Remarque : Au cours de la transformation $\beta^-$, le noyau père et le noyau fils ont le même nombre de masse $A$. Cependant, un proton s'ajoute et un neutron manque ce qui signifie que le neutron s'est transformé en un proton avec émission d'un électron : $_0^1 n \rightarrow _1^1 p + _{-1}^0 e$

2.4.3 Radioactivité $\beta^+$

La radioactivité $\beta^+$ est une désintégration nucléaire naturelle spontanée, dans laquelle un noyau père $_Z^A X$ se transforme en un noyau fils $_{Z-1}^A Y$ accompagnée de l'émission d'un positron $_1^0 e$ appelé particule $\beta^+$, selon l'équation suivante :

$$_Z^A X \rightarrow _{Z-1}^A Y + _1^0 e$$

Exemple : $_7^{13}N \rightarrow _6^{13}C + _1^0 e$

Remarque : Au cours de la transformation $\beta^+$, un proton se transforme en un neutron avec émission d'un positron : $_1^1 p \rightarrow _0^1 n + _1^0 e$

2.4.4 Le rayonnement $\gamma$

Le rayonnement $\gamma$ est des ondes électromagnétiques de très grande énergie, lors des désintégrations $\alpha$ et $\beta^-$ et $\beta^+$, le noyau fils est généralement produit dans un état excité (il possède un excédent d'énergie par rapport à son état fondamental). Ce noyau libère un rayonnement $\gamma$ selon l'équation suivante :

$$_Z^A Y^* \rightarrow _Z^A Y + \gamma$$

$_Z^A Y^*$ : noyau fils dans l'état excité
$_Z^A Y$ : noyau fils dans l'état fondamental.

Exemple :

$_7^{16}N \rightarrow _8^{16}O^* + _{-1}^0 e$ : Radioactivité $\beta^-$
$_8^{16}O^* \rightarrow _8^{16}O + \gamma$ : émission de rayonnement $\gamma$

Application

Compléter les équations des réactions nucléaires dans le tableau suivant et préciser le type de radioactivité correspondant à chaque transformation.

$ ^{214}_{82}Pb \rightarrow \ldots Bi + ^{0}_{-1}e $	$ ^{210}_{83}Bi \rightarrow ^{210}_{84}Po + ^{0}_{-1}e $	$ ^{214}_{83}Bi \rightarrow ^{214}_{84}Po + \ldots $	$ ^{210}_{84}Po \rightarrow \ldots Pb + ^{4}_{2}He $
$ ^{234}_{90}Th \rightarrow ^{234}_{91}Pa + \ldots $	$ \ldots Po \rightarrow ^{214}_{82}Pb + ^{4}_{2}He $	$ ^{222}_{86}Rn \rightarrow ^{218}_{84}O^* + \ldots $	$ ^{16}_{8}O^* \rightarrow ^{16}_{8}O + \ldots $

2.5 La famille radioactive

Le noyau fils obtenu après désintégration d'un noyau père peut parfois, à son tour, se désintègrer donnant naissance à un nouveau noyau fils, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on obtient un noyau stable. L'ensemble de ces noyaux forme une famille radioactive du noyau de départ. Il existe quatre familles radioactives naturelles provenant des noyaux suivants : $_{92}^{235}U$ $_{90}^{232}Th$ $_{93}^{237}Np$ $_{92}^{238}U$

3. Loi de décroissance radioactive

La radioactivité est un phénomène aléatoire spontané, il n'est pas possible de prévoir à l'avance la date de désintégration d'un noyau et de changer les caractéristiques de ce phénomène. Cependant, l'évolution dans le temps d'un échantillon radioactif est soumise à une loi statistique appelée loi de décroissance radioactive (découvert par Rutherford et Soddy en 1902).

Quelques propriétés mathématiques

$e^a \cdot e^b = e^{a+b}$ ; $\frac{e^a}{e^b} = e^{a-b}$ ; $e^b = a \Leftrightarrow b = \ln(a)$ tel que $(a > 0)$
$e^0 = 1$ ; $\ln(1) = 0$ ; $\ln(a \cdot b) = \ln(a) + \ln(b)$ tel que $(a, b) > 0$
$e^{-\infty} = 0$ ; $\ln(a^n) = n \ln(a)$ ; $\ln\left(\frac{a}{b}\right) = \ln(a) - \ln(b)$ tel que $(a, b) > 0$
$\ln\left(\frac{a}{b}\right) = -\ln\left(\frac{b}{a}\right)$ ; la dérivée : $(a \cdot e^{-\lambda \cdot t})' = -a\lambda \cdot e^{-\lambda \cdot t}$

3.1 La loi de décroissance radioactive

Soit $N_0$ le nombre de noyaux radioactifs à l'instant $t = 0$.

$N(t)$ le nombre de noyaux radioactifs restants (non désintégrés) à l'instant $t$.

$N(t) + dN(t)$ le nombre de noyaux radioactifs encore présents à l'instant $t + dt$ avec $dN(t) < 0$.

D'où le nombre de noyaux qui se sont désintégrés pendant la durée $dt$ est : $N(t) - (N(t) + dN(t)) = -dN(t)$.

Les expériences ont confirmé que $-dN(t)$ est proportionnelle à $N(t)$ et $dt$.

C-à-d : $-dN(t) = \lambda \cdot N(t) \cdot dt \Rightarrow$ Alors : $\frac{dN(t)}{N(t)} = -\lambda \cdot dt$.

$\Rightarrow \ln N(t) = -\lambda \cdot t + c \Rightarrow$ Alors : $N(t) = e^{-\lambda \cdot t + c} = e^{-\lambda \cdot t} \cdot e^c$

On pose : $e^c = \alpha$ ; On trouve donc : $N(t) = \alpha \cdot e^{-\lambda \cdot t}$

À l'instant $t = 0$ on a $N(0) = N_0$ et on a $N(0) = \alpha \cdot e^0 = \alpha$ donc $\alpha = N_0$. Par conséquent, nous exprimons la loi de décroissance radioactive d'un échantillon radioactif comme suit :

$$N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$$

$N(t)$ : Nombre de nucléides non désintégrés.
$N_0$ : Nombre de nucléides à $t = 0$
$\lambda$ : la constante de désintégration, ne dépend pas des conditions initiales et exprimée en s$^{-1}$.

3.2 Constante de temps d'un échantillon radioactif

On définit la constante de temps $\tau$ par la relation suivante : $\tau = \frac{1}{\lambda}$.

son unité dans (S.I) est : seconde (s).

à l'instant $t = \tau$, on trouve : $N(\tau) = N_0 \cdot e^{-\frac{\tau}{\tau}} = N_0 \cdot e^{-1} = 0,37N_0$.

Alors $\tau$ est la durée nécessaire pour la désintégration de 63% du nombre initiale $N_0$ de nucléides.

Remarque : La tangente de la courbe $N = f(t)$ à l'instant $t = 0$ coupe l'axe des abscisses au point de l'abscisse $t = \tau$.

3.3 Demi-vie radioactive

La demi-vie d'un nucléide radioactif $t_{1/2}$ est la durée au bout de laquelle la moitié des nucléides radioactifs initialement présent dans l'échantillon se sont désintégrés.

À $t = t_{1/2}$, on a : $N(t_{1/2}) = \frac{N_0}{2}$

$\Rightarrow$ Donc : $N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t_{1/2}} = \frac{N_0}{2} \Rightarrow$ C-à-d : $e^{-\lambda \cdot t_{1/2}} = \frac{1}{2}$

Donc : $-\lambda \cdot t_{1/2} = \ln\left(\frac{1}{2}\right) = -\ln 2 \Rightarrow t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda} = \tau \cdot \ln 2$.

Remarque : En utilisant la quantité de matière ou la masse, on peut écrire : $n(t) = n_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$ $m(t) = m_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$

3.4 Activité d'un échantillon radioactif

L'activité $a(t)$ d'un échantillon radioactif contenant un nombre $N(t)$ de noyaux radioactifs est le nombre de désintégration par seconde. Son expression est : $a(t) = -\frac{dN(t)}{dt}$ son unité dans (S.I) est : Becquerel Bq (1 Bq correspond à une désintégration par seconde).

On a : $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$ C-à-d $\frac{dN(t)}{dt} = -\lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$.

Donc : $a(t) = \lambda \cdot N_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t} = \lambda \cdot N(t)$.

À l'instant $t = 0$, l'activité d'un échantillon radioactif est : $a_0 = \lambda \cdot N_0$.

Donc : $a(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$

Remarque : L'activité d'une source radioactive peut être mesurée avec :

Le compteur Geiger.
Le compteur Geiger-Muller.

3.5 Application

Le nucléide sodium $_{11}^{24}Na$ de radioactivité $\beta^-$ qui donne un nucléide de magnésium $_Z^A Mg$.

écrire l'équation de désintégration. Déterminer $A$ et $Z$.
Calculer la durée nécessaire pour que 75 % de l'échantillon de sodium soit désintégré.
On donne : temps de demi-vie de nucléide sodium $t_{1/2} = 15$ h

3.6 La datation par la radioactivité

Les géologues et les archéologues utilisent différentes techniques pour déterminer l'âge des fossiles et des roches..., Parmi ces techniques, on compte celles qui reposent sur la radioactivité. Ainsi, un échantillon peut être daté en comparant son activité à celle d'un autre échantillon témoin.

Plus l'échantillon à dater est ancien, plus la demi-vie de nucléide utilisé est élevée.

Exemple : La datation au carbone 14

Dès qu'un être vivant meurt, le carbone 14 n'est plus renouvelé : sa proportion se met à décroitre, Pour déterminer l'âge du matériau mort, on mesure l'activité $a(t)$ du carbone 14 d'un échantillon de matériau mort et on applique la formule : $a(t) = a_0 \cdot e^{-\lambda \cdot t}$.

C-à-d : $\frac{a(t)}{a_0} = e^{-\lambda \cdot t} \Rightarrow \ln \frac{a(t)}{a_0} = -\lambda \cdot t \Rightarrow t = \frac{1}{\lambda} \ln \frac{a_0}{a(t)}$

Et puisque : $\lambda = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} \Rightarrow$ Donc : $t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln \frac{a_0}{a(t)}$ ou bien $t = \frac{t_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln \frac{N_0}{N(t)}$

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\( ^{214}_{82}Pb \rightarrow \ldots Bi + ^{0}_{-1}e \)	\( ^{210}_{83}Bi \rightarrow ^{210}_{84}Po + ^{0}_{-1}e \)	\( ^{214}_{83}Bi \rightarrow ^{214}_{84}Po + \ldots \)	\( ^{210}_{84}Po \rightarrow \ldots Pb + ^{4}_{2}He \)
\( ^{234}_{90}Th \rightarrow ^{234}_{91}Pa + \ldots \)	\( \ldots Po \rightarrow ^{214}_{82}Pb + ^{4}_{2}He \)	\( ^{222}_{86}Rn \rightarrow ^{218}_{84}O^* + \ldots \)	\( ^{16}_{8}O^* \rightarrow ^{16}_{8}O + \ldots \)