CHUTE VERTICALE D’UN SOLIDE

1.1 Définition

Dans le champ de pesanteur, au voisinage de la terre, les corps son soumis à une force de pesanteur exercée par
la terre qui s'appelle Poids du corps, tel que :
$\vec{P} = m \cdot \vec{g}$

• $\vec{P}$ : Poids du corps (N)
• $g$ : Intensité du champ de pesanteur (N.Kg$^{-1}$) ou (m.s$^{-2}$)
• $m$ : la masse du corps (Kg)

2.1 Poussée d'Archimède

Tout corps immergé totalement ou partiellement dans un fluide est soumis à une force exercée par ce fluide qui
s'appelle la poussée d'Archimède. ses caractéristiques sont :

• Sens : Orienté vers le haut
• Direction : Verticale.
• Intensité : Égale au poids du liquide déplacée, tel que : $F_A = m_f \cdot g$ avec $m_f = \rho_f \cdot V$

Expression de la poussée d'Archimède :
$\vec{F_A} = -\rho_f \cdot V \cdot \vec{g}$

• $\rho_f$ : la masse volumique du fluide (Kg.m$^{-3}$)
• $g$ : Intensité du champ de pesanteur (N.Kg$^{-1}$) ou (m.s$^{-2}$)
• $V$ : volume du liquide déplacé (m$^3$)
• $F_A$ : l'intensité de la poussée d'Archimède (N)

2.2 Force de frottement fluide

Les forces de frottements exercées par un fluide sur un corps immergé dedans sont équivalente à une force unique
appelée force de frottement fluide, et ses caractéristiques sont :

• Direction : la direction de la vitesse $\vec{v}_G$.
• Sens : opposée de la vitesse $\vec{v}_G$
• Intensité : $f = kv^n$

Si la vitesse est faible, on prend $n = 1$ et la force de frottement devient : $f = kv$

Si la vitesse est importante, on prend $n = 2$ et la force de frottement devient : $f = kv^2$

Expression de la force de frottement fluide :
$\vec{f} = -k \cdot \vec{v}^n$

• $k$ : Constante qui dépend de la viscosité de fluide.
• $v$ : Vitesse du corps (m.s$^{-1}$)
• $f$ : l'intensité de la force de frottement fluide (N)

3.1 Étude expérimentale

On peut évaluer la vitesse d'une bille tombant dans un fluide, suivant les étapes :

1. Réaliser la chute, sans vitesse initiale, d'une bille d'acier dans un fluide.
2. Enregistrer son mouvement et tracer l'évolution de la vitesse de la bille en fonction du temps.

$\Rightarrow$ On enregistre le mouvement de la bille en utilisant logiciel (Regressi), et on obtient la courbe ci-dessous.

Questions :

1. Décrire l'évolution de la vitesse de la bille.
2. Comment le graphe $v(t)$ permet-il d'étudier l'évolution de l'accélération au cours du temps ? Décrire cette évolution.
3. Déduire la vitesse limite $v_\ell$.
4. Déterminer graphiquement $\tau$ le temps caractéristique du mouvement.

Réponses :

1. Nous constatons que la vitesse augmente, puis se stabilise. la bille atteint une vitesse limite.
2. L'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps.
   A une date donnée, on trace la tangente à la courbe $v(t)$ : son coefficient directeur donne l'accélération à la date $t$. les coefficients directeurs diminuent jusqu'à s'annuler lorsque le régime permanent est atteint.
3. D'après la courbe la vitesse limite $v_\ell = 1$ m.s$^{-1}$.
4. D'après la courbe $\tau = 0,1$ s.

3.2 Étude théorique

3.2.1 Équation différentielle vérifiée par la vitesse

Considérons une boule de masse $m$ complètement immergée dans un fluide.

Le système étudié : (La boule).

Bilan des forces : la boule est soumise à l'action des forces suivantes :

• $\vec{P}$ : son poids
  $\vec{P} = m \cdot g \cdot \vec{k}$
• $\vec{F_A}$ : la poussée d'Archimède
  $\vec{F_A} = -\rho_f \cdot V \cdot g \cdot \vec{k}$
• $\vec{f}$ : force de frottement fluide
  $\vec{f} = -k \cdot v^n \cdot \vec{k}$

Choix du repère : On considère le repère $(Oz)$ orienté vers le bas.

Application de la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G \Rightarrow$
$\vec{P} + \vec{F_A} + \vec{f} = m \cdot \vec{a}_G$ (H)

Projetant la relation (H) sur l'axe $(Oz)$ : $P - F_A - f = m \cdot a_G$

D'où $m \cdot g - m_f \cdot g - kv^n = m \cdot a_G$ Avec : $m_f = \rho_f \cdot V$

$\Rightarrow \frac{dv}{dt} = g\left(1 - \frac{m_f}{m}\right) - \frac{k}{m} \cdot v^n$ Équation différentielle vérifiée par la vitesse.

$\Rightarrow$ On pose : $A = g\left(1 - \frac{m_f}{m}\right)$ et $B = \frac{k}{m}$

Et on trouve finalement : $\frac{dv}{dt} = A - B \cdot v^n$

3.2.2 Détermination de la vitesse limite $V_\ell$

Lorsque le régime permanent est établi la vitesse de la bille devient constante, donc $v = v_\ell \Rightarrow \frac{dv}{dt} = 0$

C-à-d : $A - B \cdot v^n = 0$ donc l'expression de la vitesse limite devient : $v_\ell = \left(\frac{A}{B}\right)^{\frac{1}{n}}$

On remplace l'expression de $A$ et $B$ et on trouve : $v_\ell = \left(\frac{g}{k}(\rho - \rho_f)V\right)^{\frac{1}{n}}$ ou $v_\ell = \left(\frac{g}{k}(m - m_f)V\right)^{\frac{1}{n}}$

3.2.3 Détermination de l'accélération initiale $a_0$

Méthode 1 : à $t = 0$, on a $v = 0$ car la bille est lancée sans vitesse initiale, donc : $a_0 = \frac{dv(0)}{dt} = g \cdot \left(\frac{m - m_f}{m}\right)$

Méthode 2 : à $t = 0$, on a $\vec{f} = \vec{0}$ (la bille au repos), donc $k \cdot v^n = 0$ d'où : $a_0 = g \cdot \left(\frac{m - m_f}{m}\right)$

3.3 Solution de l'équation différentielle par la méthode d'Euler

La méthode d'Euler est une méthode itérative (c'est à dire qu'elle nécessite la répétition d'un même calcul), elle
permet de connaitre la vitesse de la bille à un instant donné.

Généralement, c'est la vitesse initiale $v_0$ qui est connue (instant $t_0$).

Cette méthode comporte deux étapes de calcul.

Première étape : On calcule l'accélération $a_0$ à la date $t_0$.
L'équation différentielle permet de connaitre l'accélération initiale $a_0$ à la date $t_0$ : $a_0 = A - B \cdot v_0^n$

Deuxième étape : On calcule la vitesse $v_1$ à la date ultérieur $t_1 = t_0 + \Delta t$
La durée $\Delta t$ est appelée le pas de calcul. $a_0 = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{v_1 - v_0}{\Delta t}$, soit $v_1 = v_0 + a_0 \Delta t$

On recommence ces deux étapes de calculs (Tableau).

• On calcule l'accélération $a_1$ à la date $t_1$ : $a_1 = A - B \cdot v_1^n$
• On calcule ensuite la vitesse $v_2$ à la date $t_2$ : $v_2 = v_1 + a_1 \Delta t$
• On recommence en calculant $a_2 = A - B \cdot v_2^n$, puis $v_3$ ...

Ces étapes de calculs sont résumées dans le tableau ci-contre.

4.1 Définition

4.2 Étude de la chute libre d'un corps

Considérons une boule d'acier de masse $m$ en chute libre verticale.

Le système étudié : (La boule).

Bilan des forces : La boule en chute est soumise uniquement à l'action de son poids $\vec{P} = m \cdot g \cdot \vec{k}$

Choix du repère : On considère le repère $(Oz)$ orienté vers le bas.

Application de la deuxième loi de Newton : $\sum \vec{F}_{ext} = m \cdot \vec{a}_G \Rightarrow$
$\vec{P} = m \cdot \vec{a}_G$ (H)

Projetant la relation (H) sur l'axe $(Oz)$ : $P = m \cdot a_G$

D'où $m \cdot g = m \cdot a_G$ donc : $g = a_G$

Donc le mouvement de chute libre de la bille est rectiligne uniformément varié :

• Son accélération : $a_G = g$
• l'équation de la vitesse : $v_G = gt + v_0$
• l'équation horaire du mouvement : $z_G = \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + z_0$